 |
|
Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. Числовой ряд и его сумма
Определение 1. Пусть дана числовая последовательность 
. Образуем выражение
(1)
которое называетсячисловым рядом. Числа 
называются членами ряда, а выражение 
- общим членом ряда.
Пример 1. Найти общий член ряда 
.
При 
,
при 
,
при 
Нетрудно заметить, что общий член ряда 
.
Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом
.
Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:
;
;
;
…
.
Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.
Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммойчислового ряда.
Определение 3. Числовой ряд 
называется сходящимся, если 
, где число 
называется суммой ряда, и пишут 
. Если
предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 2.Проверить на сходимость ряд 
.
Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму 
представим общий член 
ряда 
в виде суммы простейших дробей
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В
Отсюда находим, что 
, а 
.
Следовательно, общий член ряда имеет вид 
Тогда частичную сумму можно представить в виде
.
После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид
.
Вычислим сумму ряда
Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.
Пример 2.Проверить на сходимость ряд 
- бесконечную геометрическую прогрессию.
Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 
1 равна 
.
Тогда имеем следующие случаи:
1. Если 
, то 
2. Если 
, то 
, т.е. ряд расходится.
3. Если 
, то ряд имеет вид 
и тогда 
, т.е. ряд расходится.
4. Если 
, то ряд имеет вид 
и тогда 
, если частичная сумма имеет четное число членов и 
, если нечётное число, т.е. 
не существует, следовательно, ряд расходится.
Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой 
называется остатком ряда и обозначается 
, т.е. 
.
Так как для сходящихся рядов 
, то 
,
т.е. 
будет б.м.в. при 
. Таким образом, значение является приближенным значением суммы ряда.
Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:
1. Если ряды 
и 
сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и Q, то сходится ряд 
, где 
, а его сумма равна A S + B Q.
2. Если сходится ряд 
, то сходится и ряд, полученный из данного
ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.
1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
Теорема. Если ряд 
сходится, то общий член ряда стремится к нулю при 
, т.е. 
.
Действительно, имеем
,
тогда 
,что и требовалось доказать.
Следствие. Если же 
, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.
Определение 5. Ряд вида 
называется гармоническим.
Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как 
.
В то же время он является расходящимся. Покажем это
Таким образом, гармонический ряд расходится.