Некоторые геометрические приложения определенного интеграла

1 Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат.

Если на сегменте [a,b] непрерывная функция f(x) ³ , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Oх и прямыми х = а и x = b, равна определенному интегралу

В общем случае, если фигура, представляет собой часть плоскости, ограниченной непрерывными кривыми , , ( ) и двумя отрезками прямых x = a, x = b (отрезки прямых могут вырождаться в точку), то площадь такой фигуры можно представить в виде суммы и (или) разности площадей криволинейных трапеций.

О a b x

Для вычисления площади такой фигуры будем иметь формулу

Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение.Сделаем схематический чертеж. Построим данные линии.

1 х

Пусть кривая, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями причем . Тогда площадь фигуры D может быть вычислена по формуле

Вычисление площади в полярной системе координат.

Пусть плоская фигура D расположена в полярной системе координат и представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой и отрезками лучей j = a и j = b. Отрезки лучей могут вырождаться в точку. Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле