Главная | Обратная связь

Вычисление длин дуг плоских кривых

1⁰ .Длина дуги в прямоугольных координатах.

Если линия задана уравнением y=f(x), , то длина дуги L вычисляется по формуле

Пример.Найти длину дуги полукубической параболы от х = 0 до х =5.

Решение.

Кривая симметрична относительно оси Ох. Найдем длину верхней части кривой. Из уравнения находим производную .По формуле для длины дуги получаем

2⁰. Если линия задана параметрическими уравнениями , то длина дуги L вычисляется по формуле

Пример.Найти длинуодной арки циклоиды

Решение.

Из уравнения циклоиды находим По формуле для длины дуги будем иметь

Вычисление объемов тел вращения

 

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = b, графиком функции y = f(x) и отрезком оси Ох, вычисляется по формуле

Объем тела, образованного вращение вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с, у = d, графиком функции x = φ(y) и отрезком оси Оy, вычисляется по формуле

 

Пример.Эллипс, большая ось которого равна 2а, малая – 2b (а > b), вращается: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. Найти объем получившегося эллипсоида вращения. В частном случае определить объем шара.

Решение. Найдем объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси Ох. Напишем уравнение эллипса

 

Из уравнения эллипса найдем . Учитывая, что эллипс пересекается с осью Ох в точках х = а и х = -а, найдем объем тела

Найдем объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси Оу. Аналогично получаем,

и

Тогда

Частный случай эллипсоида вращения, когда a = b, есть шар. Таким образом, объем шара , где а – радиус шара.

Упражнения

1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями