Главная | Обратная связь

Визначники вищих порядків

 

Розглянемо записаний спочатку формально визначник 4-го порядку:

Викреслюючи в і-тий рядок і j-тий стовпець, на перетині яких міститься елемент , отримаємо визначник 3-го порядку, який називається мінором елемента і позначається . Тоді - алгебраїчне доповнення елемента . Визначник 4-го порядку, можна означити, як розклад за елементами, наприклад, першого стовпця

Нехай введено поняття визначника -го порядку, тоді визначник -го порядку:

можна зобразити, як розклад за елементами першого стовпця:

де - алгебраїчні доповнення, а - мінори елементів першого стовпця. Останні є визначниками -го порядку.

Зауваження. Всі властивості 1-8, а також теореми розглянуті для визначників 3-го порядку поширюються і на визначники вищих порядків.

Приклад.

Обчислити визначник

.

Розв'язання. Спочатку за допомогою властивості 8 із 1.3 перетворимо в нулі елементи 1-го стовпця, які належать до 2-го 3-го і 4-го рядків. Для цього додамо відповідні елементи 1-го і 2-го рядків. На місці елемента а₂₁ отримаємо 0 (1+(-1)), а₂₂=-2+3=1, а₂₃=(-1)+(-1)=-2, а₂₄=3+(-1)=2.

Щоб отримати 0 в 3-му рядку 1-го стовпця, домножимо на (-3) елементи 1-го рядка і додамо до відповідних елементів 3-го рядка:

а₃₁=1•(-3)+3=0, а₃₂=(-2)(-3)+(-8)=-2, а₃₃=(-1)(-3)+7=10,

а₃₄=3•(-3)+7=-2.

Домножимо елементи 1-го рядка на (-2) і додамо до відповідних елементів 4-го рядка. Маємо

а₄₁=1•(-2)+2=0, а₄₂=(-2)•(-2)+1=5, а₄₃=(-1)(-2)+(-10)=-8,

а₄₄=3(-2)+17=11.

Початковий визначник ∆ внаслідок зроблених перетворень має вигляд:

= .

Далі розкладаємо останній визначник за елементами 1-го стовпця. Оскільки а₁₁=1, а решта елементів 1-го стовпця нулі, то отримаємо один визначник 3-го порядку, до якого теж в подальшому застосуємо аналогічні перетворення. В результаті запишемо:

Зауваження. Виконані перетворення в нулі елементів 1-го стовпця, що відносились до 2-го – 4-го рядків, є по суті застосуванням правила прямокутника(див. в 1.1 ) при перетворенні 2-го – 4-го рядків початкового визначника з провідним елементом 1(1-й рядок, 1-й стовпець).

Приклади. Обчислити визначники.

 

1	2
3	4

 

Відповіді. 1. 3; 2. 28; 3. 12; 4. 84.