Здавалка
Главная | Обратная связь

Лінійні дії над матрицями



 

Іноді в роботі з таблицями (матрицями) прикладів типу 1–3 із 1.8., доводиться виконувати над ними певні операції. Так, якщо в прикладі 1 потрібно підрахувати заплановий розмір стипендій за семестр (6 місяців), то очевидно необхідно кожний елемент цієї матриці помножити на 6. Виникає необхідність множити матрицю на число.

Якщо в умовах прикладу 2 ми маємо відомості 3-х місяців одного квартала, то можна скласти зведену відомість за квартал, додаючи розміщені у відповідних графах дані стосовно кожного робітника.

Приходимо до дії додавання матриць .


Якщо в умовах прикладу 3, 1.8. позначити через і – результати роботи 3-х змін за першу і другу добу відповідно, то можна знайти сумарні результати за дві доби додаванням відповідних елементів і позначити це

Отже з прикладів бачимо, що цілком природно виникає необхідність дій множення матриці на число і додавання матриць.

Означення 1. Добуткомчисла на матрицю розміру називається нова матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці помноженному на число , тобто

Матриця (–1) – протилежна матриці , і позначається .

Дія додавання вводиться тільки для матриць одного і того ж розміру.

Означення 2. Сумою двох матриць і розміру називається матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць–доданків, тобто , і позначається .

Якщо ж , то різницяматриць.

Дії додавання, віднімання і множення матриць на число називаються лінійними діями над матрицями.

Можна перевірити, що вони мають такі властивості:

Тут позначено через 0 – нульову матрицю і — протилежну матриці .

Вправа. Перевірити властивості 1–8 для матриць

і чисел .

Приклад. Задані матриці

, .

Знайти 1) ; 2) .

Розв’язання. 1)

.

 

2) .


Множення матриць

 

Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці

 

 

записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок

 

де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.

Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену -ю зміною . Аналогічно підраховуються капітальні затрати для -ої зміни по виїмці і кріпленню.

 

Отримаємо таблицю затрат


 

Зміни Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню Капітальні затрати по виїмці і кріпленню
І-а зміна
ІІ-а зміна
ІІІ-я зміна

 

 

Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матриць і за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають

Для множення матриці розміру на матрицю розміру необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею .

Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця розміру , елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів -того рядка матриці на відповідні елементи -того стовпця матриці , тобто

.

Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.

Приклад 1. Знайти добуток матриць і , якщо , .

Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю розміром 2х3, тобто

.

Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць

Звернути увагу, що в даному випадку .

Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць

Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .

Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо .

Приклад 4.

 

Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .

Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо

Можна показати, що множення матриць має такі властивості:

де – число;

.

Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.

Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі:

, , С= .

Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.

Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто .

Аналогічно вводиться .

Приклад 7. Для матриць і , де

, ,

довести, що , та знайти значення виразів.

Означення 4.Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз

де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.

Приклад 8. Для матриці

Знайти

Обчислити степені квадратних матриць:

9. . 10 . 11. .

12. . 13. . 14. .

Перемножити прямокутні матриці:

15. . 16. .

17. .

Знайти , якщо задана матриця і функція

Відповіді.

8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. .

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.