Лінійні дії над матрицями
Іноді в роботі з таблицями (матрицями) прикладів типу 1–3 із 1.8., доводиться виконувати над ними певні операції. Так, якщо в прикладі 1 потрібно підрахувати заплановий розмір стипендій за семестр (6 місяців), то очевидно необхідно кожний елемент цієї матриці помножити на 6. Виникає необхідність множити матрицю на число. Якщо в умовах прикладу 2 ми маємо відомості 3-х місяців одного квартала, то можна скласти зведену відомість за квартал, додаючи розміщені у відповідних графах дані стосовно кожного робітника. Приходимо до дії додавання матриць . Якщо в умовах прикладу 3, 1.8. позначити через і – результати роботи 3-х змін за першу і другу добу відповідно, то можна знайти сумарні результати за дві доби додаванням відповідних елементів і позначити це Отже з прикладів бачимо, що цілком природно виникає необхідність дій множення матриці на число і додавання матриць. Означення 1. Добуткомчисла на матрицю розміру називається нова матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці помноженному на число , тобто Матриця (–1) – протилежна матриці , і позначається . Дія додавання вводиться тільки для матриць одного і того ж розміру. Означення 2. Сумою двох матриць і розміру називається матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць–доданків, тобто , і позначається . Якщо ж , то — різницяматриць. Дії додавання, віднімання і множення матриць на число називаються лінійними діями над матрицями. Можна перевірити, що вони мають такі властивості: Тут позначено через 0 – нульову матрицю і — протилежну матриці . Вправа. Перевірити властивості 1–8 для матриць і чисел . Приклад. Задані матриці , . Знайти 1) ; 2) . Розв’язання. 1) .
2) . Множення матриць
Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці
записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок
де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення. Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену -ю зміною . Аналогічно підраховуються капітальні затрати для -ої зміни по виїмці і кріпленню.
Отримаємо таблицю затрат
Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матриць і за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають Для множення матриці розміру на матрицю розміру необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею . Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця розміру , елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів -того рядка матриці на відповідні елементи -того стовпця матриці , тобто . Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника. Приклад 1. Знайти добуток матриць і , якщо , . Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю розміром 2х3, тобто . Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць Звернути увагу, що в даному випадку . Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, . Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо . Приклад 4.
Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому . Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо Можна показати, що множення матриць має такі властивості: де – число; . Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують. Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі: , , С= . Розглянемо поняття степеня квадратної матриці. Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто . Аналогічно вводиться . Приклад 7. Для матриць і , де , , довести, що , та знайти значення виразів. Означення 4.Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз
де - одинична матриця, називається многочленною матрицею. Приклад 8. Для матриці Знайти Обчислити степені квадратних матриць: 9. . 10 . 11. . 12. . 13. . 14. . Перемножити прямокутні матриці: 15. . 16. . 17. . Знайти , якщо задана матриця і функція Відповіді. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|