Здавалка
Главная | Обратная связь

Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах.



Неделя 14

Лекция 27

Числовые ряды, их свойства и признаки сходимости.

 

Определение 1. Пусть , где, — бесконечная числовая последовательность. Выражение

(1)

 

называется бесконечным числовым рядом, а числа членами ряда; называется общим членом ряда.

Определение 2. Сумму первых членов ряда называют -й частичной суммой и обозначают

(2)

 

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если его -я частичная сумма при неограниченном возрастании стремится к конечному пределу, т.е. если . Число называют суммой ряда. Если же -я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимся.

 

Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

 

1. Если сходится ряд , то сходится и ряд , получаемые из данного ряда отбрасыванием первых членов (этот последний ряд называют -м остатком исходного ряда), наоборот, из сходимости -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

2. Если сходится ряд , и суммой его является число , то сходится и ряд , причем сумма последнего ряда равна .

3. Если сходятся ряды , , имеющие соответственно суммы и , то сходится и ряд , причем сумма последнего ряда равна + .

4. Если ряд сходится, то , т.е. при предел общего члена сходящего ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда). Таким образом, если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

 

,

где — знаменатель геометрической прогрессии.

-я частичная сумма ряда .

Найдем предел .

Тогда =

Отсюда имеем, что при ряд сходится, а при ряд расходится.

 

 

Ряды с положительными членами и достаточные признаки сходимости рядов.

 

Ряд с неотрицательными членами называется рядом с положительными членами

 

- ряд с положительными членами, где .

1. Основной признак. Если -я частичная сумма ряда с положительными членами ограничена сверху, т.е. , тогда ряд сходится, в противном случае ряд расходится.

2. Признаки сравнения

а) Первый признак сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

и , (1)

, (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответстующего члена ряда (2), т.е. . Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех , а лишь начиная с некоторого номера .

б) второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Общий член ряда , сравниваем с рядом , где общий член и выполняется неравенство .

Ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, знаменатель которой .

Следовательно, по признаку сравнения и данный ряд сходится.

3. Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при и расходится при , а при вопрос остается открытым.

4. Признак Коши. Если для ряда существует , то этот сходится при и расходится при .

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем , исследуем по признаку Даламбера

 

, ряд сходится.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.