Степенной ряд. Ряд Тейлора.
Определение. Ряд, члены которой являются функцией от
называется степенным рядом, где Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется такое число Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов. 1. Используя признак Даламбера радиус сходимости степенного ряда
при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует. 2. Используя признак Коши радиус сходимости можно находить по формуле
Пример. Найти радиус сходимости степенного ряда Решение. Используя формулу (2) имеем
Ряд Тейлора.
Рассмотрим ряд разложенный по степеням двучлена
Пусть ряд (4) сходится в интервале
коэффициенты ряда (5)
Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции Коэффициенты, определяемые формулой (6) подставляем в формулу (5), имеем
Этот ряд называют рядом Тейлора.
где
частичная сумма ряда, а
В частности, при
Этот ряд называется рядом Маклорена, его остаточный член
Примеры. 1. Функцию Решение. Используя формулу (8) имеем
Используя формулу (8) имеем разложение следующих функции:
Пример 2. Вычислить Решение. Используя разложение
берем первые четыре члена, т.к. пятый член Следовательно
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|