Главная | Обратная связь

Означення. Сполуками з п елементів по k елементів називається будь-яка k–підмножина даної п-множини.

Виведемо формулу, яка виражає С через п і k. Візьмемо яку-небудь k -підмножину А в п-множині X. Оскільки А містить k елементів, то її можна

упорядкувати k!способами. При цьому кожна впорядкована k -множина, що складається з елементів множини X, може бути отримана таким шляхом. Значить, число впорядкованих k -множин, складених з елементів множини X, в k!разів більше числа невпорядкованих k -підмножин в X.

Наприклад, з елементів множини А = {а; b; с; d) можна скласти чотири трьохелементних підмножини:

{а; b; с;}, {а; b; d}, {а: c: d}, {b; c; d). Число ж упорядкованих трьохелементних підмножин у 3! = 6 разів більше.

Щоб це побачити і щоб вивести формулу обчислення сполук, розглянемо приклад. Утворимо розміщення А .

(а; b; с) (а; b; d) (а; с; d) (b; с; d)

(а; с; b) (а; d; b) (а; d; с) (b; d; с)

(b; а; с) (b; а; d) (с; а; d) (с; b; d)

{b; с; а) (b; d; а) (с; d; а) (с; d; b)

(с; а; b) (d; а; b) (d; а; с) (d; b; с)

(с; b; а) (d; b; а) (d; с; а) (d; с; b)

 

Як бачимо, кількість трьохелементних підмножин з 4 елементів склала за правилом прямокутника 24 кортежі. По горизонталі розмістилися усі підмножини, які відрізняються лише складом елементів, тобто сполуки С . А по вертикалі перестановки Р₃. Звідси А = С × Р₃. Звідки С = . Таким чином, в загальному вигляді формула обчислення сполук без повторень обчислюється за формулою: С .

Зважаючи на формулу , легко отримати новий вид формули сполук, помноживши знаменник на k!, тобто її вигляд буде С

Ця формула виражає число k -підмножин у п-множині X.

Приклад. Скількома способами можна вибрати делегацію з 5 осіб з групи, у 12 осіб?

Оскільки порядок членів делегації ролі не грає, то нам треба дізнатися, скільки можна вибрати 5-тиелементних підмножин з 12-тиелементної множини. Щоб обчислити кількість способів, підставимо данні у формулу С :

Отримаємо: С .

Властивості чисел С .

Властивість 1. С= .

Нам відомо, що С

Розкриємо формулу . = , тобто отримали ту ж саму формулу. А з цього і випливає вірність нашого твердження.

Властивість 2. С= С

Дійсно, С . . Помноживши чисельник і знаменник цього виразу на (п – k), отримаємо вираз . Виконавши додавання, отримаємо шукане твердження.

За допомогою цієї тотожності можна послідовно обчислювати С спочатку при k = 0, потім при k = 1, при k = 2 і т.д. При цьому слід враховувати, що С і С .Обчислення зручно записувати у вигляді трикутної таблиці, яка у математиці отримала назву „Трикутник Паскаля”. Справа в тому, що ця таблиця зустрічається у працях французького математика й астронома Блеза Паскаля (1623–1662). Однак фактично така таблиця була відома ще арабському математику і поету Омару Хайяму ще у ХІІІ столітті.

Сутність цієї таблиці полягає в тому, що в п + 1 рядку трикутної таблиці по порядку стоять числа С , С , С ,..., С . При цьому С = С = 1, а інші числа обчислюються за формулою С = С .

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

 

Оскільки С і розташовані у цій таблиці рядком вище, ніж С , і знаходяться у цьому рядку зліва і справа від нього, то для отримання С треба додати числа попереднього рядка, які знаходяться від нього зліва і справа. Наприклад, значення С = 10 отримується шляхом додавання чисел 4 і 6, які знаходяться над числом 10, а щоб знайти С , яке дорівнює 4 і знаходиться у 5 рядку справа, слід додати числа 3 і 1, які знаходяться над ним.

 

Вправи

1. Скількома способами можна вибрати чотири фарби з шести різних

фарб?

2. У одного учня є 8 книг з математики, а у іншого – 6 книг. Скількома способами вони можуть обміняти три книги однієї людини на три книги іншої людини?

3. У класі 30 учнів. Скількома способами можна скласти чотири команди по 4 учня для участі в олімпіаді з 4 предметів, якщо з усіх предметів вона проходить одночасно?

4. Скількома способами можна створити з групи у 12 чоловіків і 8 жінок комісію, щоб вона складалася з 3 чоловіків і 4 жінок?

5. Рота складається з трьох офіцерів, 6 сержантів і 60 рядових. Скількома способами можна виділити з них загін, що складається з одного офіцера, двох сержантів і 20 рядових?

6. На шкільному вечорі були присутніми 12 дівчат і 16 хлопців. Скількома способами можна вибрати з них 4 пари для танцю?

7. Скількома способами можна вибрати 12 чоловік з 17, якщо двоє з них Петро і Іван не можуть бути вибрані разом?

8. Скільки діагоналей має 8-микутник?

9.Профспілковий комітет складається з 12 осіб. Мінімальний кворум складається з 8 осіб.

а) Скількома способами може складатися мінімальний кворум?

б) Скількома способами може складатися будь-який кворумний склад?

10. Обчислити значення виразів:а) С – С ; б) С + С ; в) А– С ;

г) ; д)

11. З двох партій деталей, з яких в одній було 6 деталей, а у другій 11 взяли деталі на експертизу ВТК: з першої партії 2, а з другої 3. Скількома способами можна це зробити?

12. Розв’язати рівняння: а) С = 15; б) С + С = 49; в) С + С = 15(х – 1);

г) 14 ; д) 21 , е) А 10

є) С + С =15(х² –1).

13. Розв’язати систему рівнянь:

14. У шаховому гуртку займаються 2 дівчинки і 7 хлопчиків. Для участі у змаганнях необхідно створити команду з 4 гуртківців, в яку обов’язково повинна входити хоча б одна дівчинка. Скількома способами можна це зробити?

15. Три стрільця повинні вразити 15 мішеней (кожний по 5). Скількома способами вони можуть розподілити мішені між собою?

16. Є колода з 36 карт. Скількома способами можна витягнути 6 карт так, щоб:

а) серед них був тільки один туз;

б) щоб було 2 тузи;

в) не було ні одного туза;

г) був хоча б один туз;

д) щоб було хоча б 2 тузи;

е) були тільки один туз і один король;

є) не було ні одного туза і ні одного короля.

ж) були туз і король однієї масті.

17. У лотереї „5 з 36” ті, хто вгадав 4, 3 або 2 номери отримують менший приз, ніж той, хто вгадав 5 номерів. Скільки може бути різних карток, де вгадано:

а) 4 номери; б) 3 номери; в) хоча б 4 номери?

18. Скільки різних дільників має число 2310? (2310 = 2×3×5×7×11)

19. У Миколи 6 друзів. Кожний день він запрошує до себе трьох з них так, щоб компанія ні разу не повторилася. Скільки для цього йому знадобиться днів?

20. Скільки прямих можна провести через 7 точок, які не лежать на одній прямій?

 

 

БІНОМ НЬЮТОНА

Добуток біномів, що відрізняються тільки другими членами.Звичайним множенням знаходимо:

(х+а)(x+b) = x²+ax+bx+ab=x²+(a+b)x+ab;

(х+а)(x+b)(х+с)=[х²+(а+b)x+ab](x+c)=x³+(a+b)x²+abx+cx²+(ac+bc)x +

+abc = x³+(a+b+c)х²+(аb + ас + bс)x + abc.

Подібно до цього знайдемо:

(х+а)(х+b)(х+с)(x+d)= x⁴+(a+b+c+d) х³+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x²+

+(abc+abd+acd+bcd) x+abcd.

Розглядаючи ці твори, помічаємо, що всі вони складені поодинці і тому ж закону, а саме: добуток складає многочлен, розташований по спадаючими ступенях букви X.

Показник першого члена дорівнює числу перемножуваних біномів; показники при х в наступних членах спадають на 1; останній член не містить х (містить його в нульовому ступені).

Коефіцієнт першого члена є 1; коефіцієнт другого члена є сума всіх других членів перемножуваних біномів; коефіцієнт третього члена є сума всіх добутків других членів, узятих по два; коефіцієнт четвертого члена є сума всіх добутків других членів, узятих по троє. Останній член є добуток всіх других членів.

Формула бінома Ньютона. Припустимо, що в доведеній нами рівності

(x+a)(x+b)×...×(x+k)=x^m+S₁x^т-1+S₂x^т-2+ ...+S_т всі другі члени біномів однакові, тобто що а = b = с = ... = k. Тоділіва частина буде ступінь бінома (х+а)^т. Поглянемо, у що перетворяться коефіцієнти S_l, S₂, ..., S_т.

Коефіцієнт S_l рівний a+b+c + ...+ k, перетвориться в та. Коефіцієнт S₂, рівний ab+ac+ad + ..., перетвориться в число а², повторене стільки раз, скільки можна скласти сполук з т елементів по2, тобто перетвориться в а². Коефіцієнт S₃,рівнийabc+acd+abd+..., перетвориться в число а³, повторенестільки раз, скільки можна скласти сполук з т елементів по 3, тобто а³ і т.д. Нарешті, коефіцієнт S_m,рівнийabc...k, перетворитьсяв a^m. Таким чином, ми отримаємо: (х+а)^т= x^m+ аx^т-1+ а²x^т-2+ а³ x^т-3+...+ a^m.

Ця рівність відома як формула бінома Ньютона*, причому многочлен, що стоїть в правій частині формули, називається розкладанням бінома. Розглянемо особливості цього многочлена.

___________________________

*^/ Ісаак Ньютон – видатний англійський математик (1642–1727). Формула бінома для цілого, дробового і від’ємного показників була ним виведена біля 1665 р., але строгого доведення він не надав. Таке доведення для цілих додатних показників була доведена Якобом Бернуллі (1654-1705).

Властивості формули бінома Ньютона.З цих властивостей ми вкажемо наступні 10:

1. Показники букви х зменшуються на 1 від першого члена до останнього, причому у першого члена показник х рівний показнику ступеня бінома, а в останньому він є 0; навпаки, показники букви а збільшуються на 1 від першого члена до останнього, причому в першому членові показник при а є 0, а в останньому він рівний показнику ступеня бінома. Внаслідок цього сума показників при х і а в кожному члені одна і та ж, а саме: вона дорівнює показнику ступеня бінома.

2. Число всіх членів розкладання є т + 1, оскільки розкладання містить всі ступені а від 0 до т включно.

3. Коефіцієнти рівні: у першого члена – 1, у другого члена – показнику ступеня бінома, у третього члена – числу сполук з т елементів по 2, у четвертого члена – числу сполук з т елементів по 3; взагалі коефіцієнт (п + 1)-го члена є число сполук з т елементів по п. Нарешті, коефіцієнт останнього члена дорівнює числу сполук з т елементів по т, тобто 1.

Відмітимо, що ці коефіцієнти називаються біноміальними.

4. Позначаючи кожен член розкладання буквою Т з цифрою внизу,
яка вказує номер місця цього члена в розкладанні, тобто перший
член Т₁, другий член Т₂ і т. д., ми можемо написати: Т_п+1 = а^п x^т-п

Ця формула виражає загальний член розкладання, оскільки з неї ми можемо отримати всі члени (окрім першого), підставляючи на місце п числа: 1, 2, 3 ...,т.

5. Коефіцієнт першого члена від початку розкладання дорівнює одиниці, коефіцієнт першого члена від кінця теж дорівнює одиниці. Коефіцієнт
другого члена від початку є т, тобто , коефіцієнтдругого члена
від кінця є , але оскільки , то ці коефіцієнти однакові. Коефіцієнт третього члена від початку дорівнює третьому коефіцієнту від кінця і т.д., тобто, коефіцієнти членів, однаково віддалених від кінців розкладання, рівні між собою.

6. Розглядаючи біноміальні коефіцієнти, ми відмічаємо, що оскільки вони розташовані симетрично, то найбільший з них розташований посередині. Якщо показник степеня є число парне, то кількість членів розкладання непарне, тому найбільший коефіцієнт один, якщо ж показник парний, то таких коефіцієнтів 2, оскільки членів розкладання число парне.Наприклад:

 

(х+а)⁴ =х⁴+4ах³+ 6а²х² + 4а³х + а⁴;

(х+а)⁵= х⁵+5ах⁴+ 10а²х³ +10а³х²+5а⁴х+а⁵.

7) З порівняння двох членів, які стоять рядом, випливає висновок, що

Для отримання коефіцієнта наступного члена досить помножити коефіцієнт попереднього члена на показник букви х в цьому члені і розділити на число членів, передуючих визначуваному.

 

Користуючись цією властивістю, можна відразу писати, наприклад

(х + а)⁷ = х⁷+7х⁶а + 21х⁵а² + 35х⁴а³ +35х³а⁴+21х²а⁵ + 7ха⁶+ а⁷

Щоб отримати, скажімо, коефіцієнт третього члена 21, треба у попередньому члені помножити 7 на 6 і результат поділити на 2, тобто на кількість членів, що цьому третьому передують. Наступний 35 отримається так: (21×5):3 і т.д.

8. Сума усіх біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2^т. Дійсно, поклавши х = а = 1, отримаємо, що сума усіх коефіцієнтів дорівнює 2^т. Наприклад, у попередньому прикладі сума коефіцієнтів

1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2⁷

9) Заменивши у формулі бинома а на –а, отримаємо чергування знаків коефіцієнтів. У нашому прикладі це буде виглядати так:

(х – а)⁷ = х⁷–7х⁶а + 21х⁵а² – 35х⁴а³ +35х³а⁴–21х²а⁵ + 7ха⁶– а⁷

Від’ємні коефіцієнти будуть у членів, в яких другий член біному а буде у непарному степені.

10) Якщо в останньому випадку покласти х=а=1, то побачимо, що сума коефіцієнтів, які стоять на непарних місцях, дорівнює сумі коефіцієнтів, що стоять на парних місцях.

Вправи для самостійного розв’язання.

1. Знайти за формулою бінома Ньютона:

(х + 1)⁶; (х + 3)⁹; (х – 2)⁸; (5 – а)⁴; (3х + 2у)⁵; (2х – 5у)⁴.

 

2. ; (х²+ 2у²)⁴ ; (3а²– 2b²)⁶ .

 

3. Знайти 6 член розкладання (5х²–6а²)¹⁰; (3а–2)¹⁰.

Знайти 8 член розкладання (5х–1)¹²; (3а+1)¹⁰.

 

4. Обчислити: 2,1⁶ = (2 + 0,1)⁶. Аналогічно: 1,03⁵; 0,97⁴; 2,8⁴.

5. Обчислити: 29⁵; 31³; 99³; 82⁴.

6. Обчислити: (4 + )⁵; (6 – 5 )⁵; ( )⁴; ( )⁴;

(1 + )⁸; (3 )⁶.

7. В розкладанні обчислити член, який не має х.

8. В розкладанні обчислити член, який не має х.

 

 

Література:

 

1. Математика/ Віленин Н.Я., Пишкало А.М., Рождественская В.Б., Стойлова Л.П. – М., Просвещение, 1977. –352 с.

2. Виленкин Н.Я. Комбинаторика/Вилнкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. –М., ФИМА МЦИМО, 2006. –311 с.

 

3. Проценко Е.А. Теоретические и методические основы изучения комбинаторики в начальной школе /Е.А.Проценко, Г.А.Семёнова. – Таганрог, 2008. – 126 с.

4. Семеновых Г.А. Основные понятия клмбинаторики//Математика в школе. –2004. –№ 15, 16, 17.

5. Стойлова Л.П. Математика. –М.: Академия, 1999. – 422 с.

 

6. Скачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. –М.: Наука, 1982. –162 с.

 

7. Шлапак Л.В. Елементи комбінаторики/Людмила Шлапак, Людвіг Сморжевський. –Тернопіль: Мандрівець, 2006. – 88 с.