 |
|
Теплоёмкость кристаллической решётки
Энергия, получаемая кристаллом при его нагревании, идет на возбуждение колебаний частиц (атомов или ионов), расположенных в узлах кристаллической решетки, или, если пользоваться понятием квазичастиц, на рождение всё новых и новых фононов. Простейшая теория теплоёмкости кристаллических тел была создана А.Эйнштейном (1907 г.) и впоследствии усовершенствована П.Дебаем (1912 г.). В теории Эйнштейна кристаллическая решетка рассматривалась как система из 3N(поскольку каждый атом обладает тремя колебательными степенями свободы) независимых гармонических осцилляторов с одинаковыми собственными частотами w. Зная распределение частиц по энергетическим состояниям для внутренней энергии кристалла можно получить выражение:
. (20.3)
Дифференцируя (20.3) по температуре, находим теплоёмкость кристалла:
. (20.4)
Рассмотрим два предельных случая:
1. При высоких (kT>>ћw) температурах справедливо приближение 
, что даёт
СV = 3Nk, (20.5)
и, следовательно, для молярной теплоемкости
Смол = 3R (20.6)
(закон Дюлонга и Пти).
2. При низких (kT<<ћw) температурах единицей в знаменателе (20.4) можно пренебречь по сравнению с 
и формула для теплоемкости приобретает вид:
. (20.7)
Опыт показывает, что при близких к нулю температурах теплоемкость действительно убывает, но не по экспоненциальному закону, а как Т3. Таким образом, теория Эйнштейна при низких температурах дает только грубое приближение, не позволяющее получить количественное согласие с опытом.
Более точной является теория Дебая, в которой учитывается тот факт, что смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение и других, соседних с ним атомов, т.е. колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. В теории Дебая твёрдое тело рассматривается как система N упруго связанных друг с другом атомов. В общем случае теория Дебая приводит к весьма громоздкому выражению для теплоёмкости, которое, однако, существенно упрощается при температурах T<<Q, где
. (20.8)
где wmax – максимальная частота колебаний решётки, Q – характеристическая температура Дебая. В этом случае
, (20.9)
т.е. в соответствии с опытом 
. Следует отметить, что теория Дебая также является приближённой и применима лишь к соединениям, обладающим простыми кристаллическими решётками.