Главная | Обратная связь

Распределение электронов проводимости в металле по энергиям при абсолютном нуле температуры.

В качестве примера применения распределения Ферми-Дирака рассмотрим задачу о распределении по энергиям электронов проводимости в металле (рис. 20.1) при температуре T = 0 K. Энергия электронного газа должна быть минимальной, однако, в силу принципа Паули, все электроны не могут оказаться в одном состоянии с минимальной энергией. Из приведенного выше распределения Ферми-Дирака (20.10) следует, что при абсолютном нуле температуры заселённость равна:

= 1 при E_i < m

= 0 при E_i > m.

Чтобы при температуре T = 0 K добавить к уже имеющимся еще один электрон, нужно совершить работу, равную химическому потенциалу m, так как все состояния с меньшими энергиями уже заняты. Можно показать, что в общем случае химический потенциал системы равен работе,которую нужно совершить,чтобы при постоянных температуре и давлении увеличить число частиц в системе на единицу. В физике твёрдого тела максимальную энергию электронов в системе при T = 0 K принято называть энергией Ферми Е_F. Из сказанного выше очевидно, что понятия энергии Ферми и химического потенциала совпадают, так что распределение Ферми-Дирака можно записать в виде:

. (20.11)

Энергия Ферми связана с концентрацией n свободных электронов в металле при T = 0 K выражением:

,

где m – масса электрона.

При повышении температуры часть электронов переходит в состояния с энергией E_i>E_F, так что характерная для распределения Ферми-Дирака ступенчатая зависимость заселённости от температуры (рис. 20.2) размывается, переходя при высоких температурах в классическое распределение Максвелла. Электронный газ,при рассмотрении которого необходимо учитывать принцип Паули,принято называть вырожденным. Введём понятие температуры вырождения(температуры Ферми):

, (20.12)

где T_F – температура вырождения, E_F – энергия Ферми, k – постоянная Больцмана. Смысл этой температуры в том, что при Т<Т_F электронный газ является вырожденным и необходимо учитывать его квантовые свойства (принцип Паули), при температурах же Т>Т_F практически для всех энергий заселенности <<1, так что принцип Паули, по сути дела, не влияет на движение электронов, и свойства электронного газа совпадают со свойствами классического идеального газа.

Оценка показывает, что для всех металлов энергия Ферми имеет величину порядка нескольких электронвольт, так что температура вырождения составляет несколько десятков тысяч градусов. При таких температурах все вещества переходят в газообразное состояние, так что в реальных условиях газ электронов проводимости в металлах всегда следует считать вырожденным. Как мы увидим в дальнейшем, ситуация может быть существенно иной в полупроводниках и диэлектриках.

Квантовая статистика позволила объяснить, почему значение теплоемкости металлов, рассчитанной классическим способом, не совпадает с экспериментом.

В рамках классической электронной теории металлов предполагалось, что внутренняя энергия моля металла складывается из кинетической энергии колебаний ионов (3 степени свободы), равной ей по величине потенциальной энергии колебаний ионов и кинетической энергии свободных электронов (3 степени свободы), так что:

, (20.13)

где R – универсальная газовая постоянная. Следовательно,

. (20.14)

То есть предполагалось, что электроны дают вклад в теплоёмкость, равный 1,5R. Посмотрим, что же происходит на самом деле.

Заштрихованная область под кривой (рис. 20.2) равна 1·E_F, с другой стороны, она определяет все электроны, не потребляющие тепло. kT/E_F – вероятность того, что первый встречный электрон будет потреблять тепло. Для одного моля число таких электронов составляет kTN₀/E_F, где N₀ – число Авогадро, E_F – энергия Ферми.

Следовательно,внутренняя энергия моля, потребляющего тепло равна:

. (20.15)

Тогда для молярной теплоёмкости получим выражение:

. (20.16).

Расчёт по формуле (20.16) для меди (E_F = 7 эВ) при 300 К даёт значение теплоемкости, равное 0,008R, а не 1,5R, как предполагалось в классической теории.