Направления выпуклости, точки перегиба

График функции называется выпуклым вниз на интервале , если он целиком расположен выше любой его касательной на этом интервале.

График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он целиком расположен ниже любой его касательной на этом интервале.

Теорема.Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е. , то ее график является выпуклым вверх на этом интервале. Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т.е. , то ее график является выпуклым вниз на этом интервале.

Точкой перегиба графика функции называется такая его точка, в которой выпуклость меняется на противоположную.

Необходимое условие существования точки перегиба

Теорема.Если – точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие существования точки перегиба

Теорема.Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

Поскольку вторая производная обращается в ноль при и меняет знак при переходе через это значение, например, , то – точка перегиба, . Так как при и при , то график функции является выпуклым вверх на интервале и выпуклым вниз на интервале .

Задачи.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций:

7.123. ; 7.124. ;

7.125. ; 7.126. .

Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается данная кривая, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат. Различают асимптоты вертикальные и наклонные.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений является бесконечным.

Прямая называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции при ( или ), если , где .

График функции имеет при наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела: .

Пример.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Прямая является вертикальной асимптотой, так как . Поскольку и , то график функции имеет и наклонную асимптоту (рис.17).

Задачи.

Найти асимптоты графиков функций:

7.127. ; 7.128. ;

7.129. ; 7.130. .

13. Общий план исследования функции и построение ее графика

При исследовании функции и построении ее графика полезно придерживаться следующей последовательности действий:

1. Найти область определения функции, исследовать ее на концах области определения.

2. Определить возможный тип симметрии: исследовать на четность, нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти вертикальные и наклонные асимптоты.

5. Найти промежутки возрастания, убывания функции и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба функции.

7. Построить эскиз графика функции с учетом исследования.

Пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция не определена при . Следовательно, область определения состоит из трех интервалов: . При стремлении аргумента к концам области определения соответственно получаем: .

2. Функция нечетная, т.к. . Значит, график ее будет симметричен относительно начала координат.

3. при .

4. Вертикальные асимптоты: и , так как .

Найдем наклонные асимптоты:

, .

Следовательно, наклонная асимптота .

5. Находим первую производную функции: . при . Данная функция возрастает при , т.к. в этих интервалах и убывает при , т.к. в этих интервалах . Следовательно, точка является точкой максимума (первая производная при переходе через это значение меняет знак с плюса на минус) и , а точка является точкой минимума (первая производная меняет знак с минуса на плюс) и .

6. Находим вторую производную функции: . Так как при , то график функции является выпуклым вверх в этих интервалах. Так как при , то график функции является выпуклым вниз в этих интервалах. Точка является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак в окрестности этой точки.