Дифференциал функции одной переменной
С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную». Производная функции чаще всего обозначается через . Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек») Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде: Другой вариант записи: Простейшая задача: Найти дифференциал функции 1) Первый этап. Найдем производную: 2) Второй этап. Запишем дифференциал: Готово. Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют дляприближенных вычислений. Помимо «комбинированных» задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции: Пример 7 Найти дифференциал функции Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё додифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень: (корень пятой степени относится именно к синусу). Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель: Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза: Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном «красивом» виде: Готово. Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты). Пример 8 Найти дифференциал функции Это пример для самостоятельного решения. Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке: Пример 9 Вычислить дифференциал функции в точке Найдем производную: Опять, производная вроде бы найдена. Но в эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем: Труды были не напрасны, записываем дифференциал: Теперь вычислим дифференциал в точке : В значок дифференциала единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы. Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно: Пример 10 Вычислить дифференциал функции в точке . В ходе решения производную максимально упростить. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.
Вторая производная Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной: Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое. Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции . Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную: Теперь находим вторую производную: Готово. Рассмотрим более содержательные примеры. Пример 11 Найти вторую производную функции Найдем первую производную: На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: : Находим вторую производную: Готово. Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу : Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут. Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности. Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке. Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке : Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы. Пример 12 Найти вторую производную функции . Найти Это пример для самостоятельного решения.
Решения и ответы: Пример 2: Найдем производную: Пример 4: Найдем производную: Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле Пример 8: Преобразуем функцию: Пример 10: Найдем производную: Запишем дифференциал: Пример 12: Найдем первую производную:
Приближенные вычисления В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике: Пример 1 Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала: Начинаем разбираться, здесь всё просто! На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение . Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе: В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: . Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: . Если , то приращение аргумента: . Итак, число 67 представлено в виде суммы Далее работаем с правой частью формулы . Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее: Дифференциал в точке находится по формуле: Из формулы следует, что нужно взять первую производную: И найти её значение в точке : Таким образом: Всё готово! Согласно формуле : Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора. Ответ: Пример 2 Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным. У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт. Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =) Пример 3 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений. Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала» Решение: Используем знакомую формулу: Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: . Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке. Находим первую производную: И её значение в точке : Таким образом, дифференциал в точке: В результате, по формуле : Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|