 |
|
ПЕРІОД Елементарна математика
Розвиток математики
Введення
"Математика розум до ладу приводить"
М. Ломоносов
Історія розвитку математики - це не тільки історія розвитку математичнихідей, понять і напрямків, але це й історія взаємозв'язку математики з людською діяльністю, соціально-економічними умовами різних епох.
Становлення і розвиток математики як науки, виникнення її нових розділів тісно пов'язане з розвитком потреб суспільства у вимірах, контролі, особливо в областях аграрної, промислової та оподаткування. Перші області застосування математики були пов'язані зі спогляданням зірок і землеробством. Вивчення зоряного неба дозволило прокласти торгові морські шляхи, караванні дороги в нові райони і різко збільшити ефект торгівлі між державами. Обмін товарами приводив до обміну культурними цінностями, до розвитку толерантності як явища, що лежить в основі мирного співіснування різних рас і народів. Поняття числа завжди супроводжувалося і нечисловими поняттями. Наприклад, один, два, багато ... Ці нечислові поняття завжди захищали сферу математики.Математика надавала закінчений вигляд всіх наук, де вона застосовувалася. У Європі склалося поділ на гуманітарні та природничі науки за ступенем впливу математики на ці частини.
ПЕРІОД Елементарна математика
Наші початкові уявлення про число і формі належать до дуже віддаленої епохи стародавнього кам'яного віку. Числові терміни повільно входили у вжиток рибалок, мисливців, а потім землевласників і торговців.
З дійшли до нас математичних документів Сходу можна зробити висновок, що в Древньому Єгипті були сильні розвинені галузі математики, пов'язані з вирішенням економічних завдань. Папірус Райнда (бл. 2000 р. до н.е.) починався з обіцянки навчити "зробленому й обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їхніх сутностей, пізнанню всіх таємниць".
Фактично викладається мистецтво обчислення з цілими числами і дробами, в яке присвячувалися державні чиновники для того, щоб уміти вирішувати широке коло практичних задач, таких, як розподіл заробітної плати між відомим числом робочих, обчислення кількості зерна для приготування такого-то кількості хліба, обчислення поверхонь і обсягів і т.д. Далі рівнянь першого ступеня і найпростіших квадратних рівнянь єгиптяни, мабуть, не пішли. Весь зміст відомої нам єгипетської математики переконливо свідчить, що математичні знання єгиптян призначалися для задоволення конкретних потреб матеріального виробництва.
Єгиптяни користувалися двома системами письма. Одна - ієрогліфічна - зустрічається на пам'ятниках і могильних плитах, кожен символ зображує який-небудь предмет. В іншій системі - ієратичне - використовувалися умовні знаки, які сталися з ієрогліфів в результаті спрощень і стилізацій.Саме ця система частіше зустрічається на папірусах.
Ієрогліфічна система числення має підставу 10 і не є позиційною: для позначення чисел 1, 10, 100 і т.д. в ній використовується різні символи, кожен символ повторюється певну кількість разів, і, щоб прочитати число, потрібно підсумувати значення всіх символів, що входять до його запис. Таким чином, їх порядок не грає ролі, і вони записуються або горизонтально, або вертикально.
Ієратичне система числення також десяткова, але спеціальні додаткові символи допомагають уникнути повторення, прийнятого в ієрогліфічній системі.
Математика Вавилона, як і єгипетська, була викликана до життяпотребами виробничої діяльності, оскільки вирішувалися задачі, пов'язані з потребами зрошення, будівництва, господарського обліку, відношеннями власності, численням часу. Зберігся документи показують, що, базуючись на 60-річної системі числення, вавілоняни могли виконувати чотири арифметичних дії, існували таблиці квадратних коренів, кубів кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, були відомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані в області чисельної алгебри. Рішення задач проводилося за планом, задачі зводилися до єдиного «нормального" виду і потім вирішувалися за загальними правилами. Зустрічалися задачі, що зводяться до рішення рівнянь третього ступеня й особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого і шостого ступенів.
Вавилонська система числення є комбінацією шестидесятеричной і десяткової систем із застосуванням позиційного принципу; в ній використовуються лише два різних символу: один позначає одиницю, другий - число 10; всі числа записуються за допомогою цих двох символів з урахуванням позиційного принципу. У самих древніх текстах (близько 1700 р. до н.е.) не зустрічається жодного символу для позначення нуля; таким чином, чисельне значення, яке надавалося символу, залежало від умов завдання, і один і той же символ міг позначати 1, 60, 3600 або навіть 1 / 60, 1 / 3600
Греки на протязі одного-двох сторіччя зуміли опанувати математичноюспадщиною попередників, але вони не задовольнялися засвоєнням знань; греки створили абстрактну і дедуктивну математику. Вони були, перш за все, геометрами, імена яких і навіть твори дійшли до нас. Це Фалес Мілетський, школа Піфагора, Гіппократ хіоського, Демокріт, Евдокс,Аристотель, Евклід, Архімед, Аполон.
Мілетська школа, що заклала основи математики як доказової науки - одна з перших античних математичних шкіл. Вона існувала в Іонії наприкінці V-IV ст. до н.е; основними діячами її були Фалес (ок.624-547 рр.. до н.е.), Анаксимандр (бл. 610-546 рр.. до н.е.) і Анаксимен (ок.585-525 рр.. до н.е.).
Основоположником Пифагорийский школи був Піфагор Самоський (580-500 до н.е.).
Головною заслугою піфагорійців в галузі науки є істотний розвитокматематики, як за змістом, так і за формою. За змістом - відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії та арифметики як теоретичних, доказових наук, які вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричних формах.
Дедуктивне побудова геометрії стало потужним стимулом її подальшого зростання.
Піфагорійці розвинули і обгрунтували планиметрию прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильних багатокутниках. Отримала розвиток елементарна теорія кола і круга.
Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії говорить про те, що вони володіли методом докази від протилежного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора.
Числа в піфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняттяодержали математичне фарбування. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основне місце в системі світогляду, тобто фактично математика об'являється філософією.
Хоч як великі заслуги піфагорійців у розвитку змісту та систематизації геометрії та арифметики, проте всі вони не можуть зрівнятися із зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики.
Елейський школа - це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейської школи вважають Парменіда (кінець VI - V ст. До н.е.) і Зенона (перша половина V ст. До н.е.).
У силу тісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнувся системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що вважалися до цього, безсумнівно, істинними, у світлі зеноновскіх побудов виглядали як суперечливі.
Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, в якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Це завдання вирішив грецький математик Демокріт, розробивши концепцію математичного атомізму. Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичноїперспективи і проекції). Видає досягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному планіПлатоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.
За допомогою математичних відносин Платон намагався охарактеризувати деякі явища суспільного життя. Платон істотно спирався на математику при розробці основних розділів своєї філософії: у концепції "пізнання - пригадування", навчанні про сутність матеріального буття, про устрійкосмосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д. Математика зіграла значну роль у конструктивному оформленні його філософської системи.
Найбільший філософ давнини Аристотель (384-322 рр. до н. Е.) в математиці, по - видимому не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків. До часів Аристотеля теоретична математика досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основні розділи: «освіченість» і «наукове знання справи».
Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.
В Аристотеля чітко сформульовані логічні принципи дедуктивного побудови математичної дисципліни. Щоб щось доводити, робити логічні висновки, потрібно спиратися на якісь попередні положення, вже доведені раніше. Тому для побудови строгої математичної теорії необхідно перерахувати деякі припущення, на які можна спиратися при доказі.
Ці принципи особливо чітке втілення отримали у великому творінніЕвкліда (III ст. До н.е.) «Начала», текст якого дійшов і до нашого часу. На дві тисячі років «Начала» Евкліда стали енциклопедією, місце якого визначається не стільки власними його науковими дослідженнями, скільки педагогічними заслугами. Величезна заслуга Евкліда полягає в тому, що він підвів підсумок побудови геометрії і надав викладу досконалу форму.
З арифметики поступово виростає теорія чисел. Створюється систематичне вчення про величини і вимірі. Процес формування поняття дійсного числа виявляється досить тривалим.
Протягом 5-го, 4-го, 3-го тисячоліть до н.е. нові і більш досконалі форми суспільства складалися на основі злагоду громад, що існували на берегах великих річок Африки і Азії.
Східна математика виникла як прикладна наука, що мала на меті полегшити календарні розрахунки розподілу врожаю і збору податків. На початку головною справою були арифметичні розрахунки і вимірювання. Проте з плином часу з арифметики виросла алгебра, а з вимірів виникли зачатки теоретичної геометрії.
На Сході виникла система, заснована на десятковій системі числення зі спеціальними знаками для кожної десяткової одиниці вищого розряду - системі, яка нам знайома, завдяки римському обчисленню, заснованому на тому ж принципі. Саме на сході визначено значення π.
Протягом останніх сторіч 2-го тисячоліття до н.е. в басейні Середземного моря та прилеглих до нього областях дуже багато що змінилося в політиці. Підсумком був розквіт грецького поліса - самоврядного міста - держави. Саме в цій атмосфері народилася сучасна математика.
Наступним був період Олександрії. Одне з найбільших творів цього періоду стало «Велике зібрання» Птолемея. Там ми знаходимо теорему про чотирикутники, вписаному в коло. У «Сферика» Менелая ми знаходимо теорему про трикутник в узагальненому для сфери вигляді. Але, тим не менш, Олександрійська школа повільно вмирала разом із занепадом античного суспільства.
Найбільш розвиненою частиною римської імперії завжди був схід.Землеробство заходу було екстенсивним, ніколи не мало в своїй основі зрошення і це сприяло астрономічних досліджень. Мало рухлива цивілізація західної римської імперії зберігалася протягом століть.
Протягом перших століть західного феодалізму навіть у монастирях не дуже високо ставлять математику. Там вона зводилася лише до скромної арифметиці церковного призначення.
Італійські купці відвідували схід і знайомилися з його цивілізацією. Вони прагнуть познайомитися з наукою і мистецтвами більш давньої цивілізації, щоб використовувати їх у своїй власній новій системі. А в 12-13 століттях ми бачимо вже зростання банківської справи і зачатки капіталістичної форми виробництва. Одним з учених цього періоду був Леонардо з Пізи (Фібоначчі). Він написав свою «Книгу Абака», заповнену алгебраїчними і арифметичними відомостями, зібраними під час подорожі. У книзі «Практика геометрії» Леонардо розповідає про те, що він відкрив у галузі геометрії і тригонометрії. Інтерес до математики став поширюватися на північні міста. Спочатку це був практичний інтерес, і протягом декількох століть арифметику і алгебру поза університетами викладали майстри, які зазвичай не знали класиків, але зате навчали бухгалтерії та навігації.
Математика розвивалася головним чином у зростаючих торгових містах. Городян цікавив рахунок, арифметика, обчислення. Типовий для цього періоду Йоганн Мюллер, ведуча математична фігура 15-го сторіччя. Він перевів Птолемея, Герона, Архімеда. Він поклав багато праці на обчислення тригонометричних таблиць, склав таблицю синусів з інтервалом в одну хвилину. Значення синусів розглядалися як відрізки, які представляли полухорди відповідних кутів у колі, тому вони залежали від довжини радіуса.
Розвиток аналізу отримало потужний імпульс, коли була написана «Геометрія» Декарта. Вона включила в алгебру всю область класичної геометрії. Декарт створив аналітичну геометрію. Ферма і Паскаль стали засновниками математичної теорії ймовірностей. Поступове формування інтересу до завдань, пов'язаних з вірогідністю, відбувалося передусім під впливом страхової справи.
Період елементарної математики закінчується, коли центр ваги математичних інтересів переноситься в область математики змінних величин. Ще в математиці Стародавнього світу на матеріалі вивчення тригонометричних функцій і при складанні їх таблиць формуються уявлення про функціональну залежності. Таким чином, весь період до 17 ст. залишається періодом елементарної математики.
У цілому ж математика пройшла гігантський шлях у цей період від зародження рахунку на пальцях до найскладніших теорем.