 |
|
Средняя длина свободного пробега. Частота столкновений. Общее уравнение переноса. Выражения для коэффициентов переноса и их зависимость от термодинамических параметров
Минимальное расстояние на которое сближаются при столкновении центры двух молекул называется эффективным диаметром. Величина σ=πd*d называется эффективным сечением молекулы. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости <V> . Если за секунду она претерпевает в среднем V столкновений то средняя длина пробега будет равна λ=<V>/V. Для того чтобы подсчитать среднее число столкновении V, предположим вначале, что все молекулы кроме данной застыли неподвижно на своих местах. Ударившись об одну из неподвижных молекул она будет лететь до тех пор пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой. Это соударение произойдет , если центр неподвижной молекулы окажется от прямой вдоль которой летит молекула на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы. За секунду молекула проходит путь равный <V> . Число происходящих за это время соударении с неподвижными молекулами равно количеству молекул центры которых попадают коленчатого цилиндра длины <V> и радиуса d. Умножив объем этого цилиндра на число молекул в единице объема n, получим среднее число столкновении за секунду движущейся молекулы с неподвижными: “ср.число столкновении”= πd*d *<V> *n. Следовательно конечная формула средней длины свободного пробега λ=1/ (под корнем 2)* πd*d*n . Заменим λ=1/ (под корнем 2)*σ *n. При постояннои температуре n пропорционально р. Следовательно средняя длина свободного пробега обратно пропорционально давлению λ̴ 1/р. При повышении температуры длина свободного пробега увеличивается.
Пусть G - то свойство молекулы, которое можно переносить вместе с ней: масса, энергия, импульс,
заряд и т.д. Предполагаем, что в равновесии G постоянно по объему, а при изменении равновесия
(например, вдоль оси x) возникает градиент G: ðG/ðx≠0. При этом возникает перемещение этого качества
G вдоль оси х. Итак, пусть имеем градиент качества G(x) вдоль оси x. Среднее расстояние, пробегаемое
молекулами вдоль оси x без столкновения равно ⅔λ . Обычно это расстояние мало по сравнению с
реальными размерами сосуда, прибора или с рассматриваемыми расстояниями x, и поэтому функцию
G(x) можно разложить в ряд, рассматривая ее в точках, отстоящих от рассматриваемой точки на расстоянии ⅔λ. G(x±⅔λ)=G(x)± ⅔λ* ðG/ðx. Здесь мы ограничились первым порядком разложения в
ряд Тейлора. Поток числа частиц в направлении оси x через единичную площадку равен числу “столкновений” молекул с площадкой единичной площади иперпендикулярной оси x в единицу времени, то есть равен частоте столкновений молекул со стенкой. V=¼n₀<V>. Именно этот поток пересекает площадку в точке x, и он направлен как с левой стороны к точке x, так и с правой. Следовательно, плотность потока
переносимого качества G (например, энергии) равна потоку этой величины через единичную площадку:
А) в направлении отрицательных значений x: j̄̄̄̄=-¼n₀<V>[ G(x)+⅔λ* ðG/ðx]. Б) вдоль положительных значений x: j⁺=-¼n₀<V>[ G(x)+⅔λ* ðG/ðx]. Полная плотность потока есть сумма потоков слева и справа: j= j̄̄̄̄+ j⁺. Итак, подставляя , получаем основное уравнение стационарных процессов переноса:
J=-⅓ n₀<V> λ* ðG/ðx