 |
|
Кривые 2-го порядка.
К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Окружность.
Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра). Расстояние, на которое удалены точки окружности от центра, называется радиусом.
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке O (a; b) имеет вид
Эллипс.
Определение 2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а>2с).
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где 
. Число c – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют большой и малой полуосями эллипса.
В случае a=b эллипс представляет собой окружность радиуса a с центром в начале координат. Форма эллипса характеризуется эксцентриситетом
Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам
,
здесь знак «+» берется для левого фокальногорадиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.
Гипербола.
Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а<2с).
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
где 
. Число c – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. Форма гиперболы характеризуется эксцентриситетом
Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам
,
здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.
Если a=b, то уравнение
или 
определяет равнобочную гиперболу.
Две гиперболы, определяемые уравнениями
называются сопряженными.
Парабола
Определение 4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Если директрисой параболы является прямая 
, а фокусом – точка F(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. Длина фокального радиуса – вектора определяется по формуле
Уравнение
является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.
Литература: К,А, Хасеинов Каноны математики. Стр.79-92.