Центр масс системы материальных точек
Если бы мы не вычитали, а складывали уравнения (6.1), у нас получился бы просто закон сохранения импульса
Его можно переписать чисто формально как закон постоянства во времени некоторой скорости Vc:
(6.4)
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью (6.4). Скорости частиц 1 и 2 при этом преобразуются следующим образом:
(6.5) т. е. в новой системе отсчета они выражаются через скорость относительного движения. Свяжем скорость Vc с радиусом-вектором некоторой точки rс:
Отметим, что определение (6.6) совпадает с известным из школьного курса физики понятием центра тяжести. Для доказательства перенесем начало координат в точку rс. Тогда, совершенно аналогично (6.5), получим
Таким образом,
(центр тяжести определяется равенством произведений массы на «плечо»). Но определения (6.4) и (6.6) более корректны и более универсальны, поскольку без каких-либо проблем обобщаются на любое число материальных точек, а следовательно, и на макроскопиче- макроскопические тела. Точку С в механике — и вообще в физике — принято называть центром масс или центром инерции системы материальных точек. Пусть в некоторой инерциальной системе координат положения взаимодействующих материальных точек с массами m1, m2, ... mN задаются в каждый момент времени t посредством радиусов-векторов r1(t), r2(t), ... rN(t) (см. рис. 6.3 а). Тогда центром масс рассматриваемой системы материальных точек называется такая точка, радиус-вектор которой Rc(t) выражается через радиусы-векторы r1(t), r2(t), ... rN(t) материальных точек по
(6.7) Подчеркнем, что в общем случае положение центра масс не совпадает с положением какой-либо из материальных точек системы (см. рис. 6.3 б), хотя иногда такое может и случиться.
Рис. 6.3 Продифференцируем по времени левую и правую части равенства (6.7). Производная радиуса-вектора по времени есть по определению скорость, так что в результате мы получаем (6.8) где Vc — скорость центра масс, vi, v2,... vN — скорости материальных то- точек. Величина mivi в (6.8) — импульс первой материальной точки, m2V2 — импульс второй точки и т. д. Таким образом, в фигурных скобках выражения (6.8) стоит сумма импульсов рассматриваемой системы материальных точек, т. е. импульс Р всей системы. Следовательно, равенство (6.8) можно переписать в виде
Р = {m1 + m2 + …. + mN}Vc. (6.9)
В системе отсчета, где центр масс покоится, Р = 0. Если нас не интересует относительное движение материальных точек, а интересует движение системы как целого, то тогда всю систему можно рас- рассматривать как одну материальную точку, движущуюся со скоростью Vc и обладающую импульсом Р. Вспомним, что масса материальной точки есть, по определению, коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью. Поэтому стоящий в равенстве (6.9) коэффициент пропорциональности, заключенный в фигурные скобки, есть масса М рассматрваемой системы:
М = m1 + m2 + …. + mN, (6.10)
т. е. масса системы материальных точек равняется сумме масс этих точек. Соотношение (6.10), согласно которому масса сложного тела равна сумме масс его частей, кажется нам привычным и очевидным. Однако, как мы еще убедимся, в релятивистской механике (т. е. в более общем случае) ситуация будет совершенно иной. В предельном случае ньютоновой механики равенство (6.10) представляет собой частный случай определенного физического закона — закона сохранения массы. В отсутствие внешних сил, т. е. для замкнутой системы, сумма импульсов всех тел системы не зависит от времени; тогда из (6.9) следует важное свойство движения центра масс замкнутой системы материальных точек: Vc = const, т. е. центр масс замкнутой системы материальных точек неподвижен или движется равномерно и прямолинейно, хотя каждая из материальных то- точек может совершать сложное движение. Приведенное выше утверждение называют иногда теоремой о движении центра масс. Мы сейчас докажем следующее важное свойство кинетической энергии: кинетическая энергия Т системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии Т' той же системы в ее относительном движении по отношению к системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:
(6.11) где М = m1+ m2 + … + mN . Vc — скорость центра масс в исходной системе отсчета, vi — скорость i-ой материальной точки относительно системы отсчета, движущейся вместе с точкой С. Такую систему обычно называют «системой центра масс», «системой центра инерции» или просто «ц-системой». (Систему отсчета, в которой поставлена задача, если эта система не совпадает с ц-системой, принято называть лабораторной системой отсчета или л-системой). Для доказательства получим вначале более общее соотношение, связывающее кинетическую энергию в двух системах отсчета (см. рис. 6.4). Для координат и скоростей точек в старой системе Ri, Vi и в новой системе ri, vi запишем преобразования Галилея:
Рис. 6.4 где R — радиус-вектор перехода из старой системы в новую, а V —соответственно, скорость движения новой системы относительно старой. Тогда кинетическую энергию в старой системе отсчета можно представить в виде
Правую часть (6.12) можно представить в виде трех сумм:
где Р — полный импульс системы материальных точек в новой системе отсчета. Соотношение (6.13) принято называть теоремой Кенига . Если же новая система совпадает с ц-системой, то суммарный импульс в ней равен нулю, V = Vc, а значит, имеет место соотношение (6.11). В заключение этого параграфа отметим два важных свойства, вытекаю- вытекающих из определения центра масс. Во-первых, частицы в (6.7) можно объединять в какие угодно группы, например:
Отсюда, как легко сообразить, следует, что центр масс любой системы макроскопических тел может быть найден как центр масс системы материальных точек, в предположении, что масса каждого тела сосредоточена в его собственном центре масс. И во-вторых, от суммирования в (6.7) нетрудно перейти к интегрированию, если мы вычисляем положение центра масс тела с непрерывным распреде- распределением плотности вещества ρ(т):
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|