 |
|
Работа и кинетическая энергия
В повседневной жизни из понятий механики нам приходится чаще всего сталкиваться с понятием работы. Каждый человек непрерывно работает с первых шагов своей жизни, перемещая с места на место различные предметы (в том числе, и свое тело), изучая науки в школе и институте и совершая потом определенные действия на рабочем месте. Вокруг нас работают тысячи машин и механизмов.
Столь же часто, как понятие «работа», встречается нам и понятие «энергия»; это объясняется тем, что энергия, как мы увидим далее, отражает способность отдельных тел или сложных систем совершать работу. Поиск источников энергии всегда являлся одной из самых главных задач человеческого общества. Важнейшим из них для нас является Солнце, электромагнитное излучение которого приносит на Землю энергию, без которой само существование жизни было бы невозможным.
Перейдем теперь к строгому определению этих понятий. В повседневной жизни понятие работы чаще всего связано с определеными усилиями, которые приходится прилагать, чтобы переместить какое-либо тело из одного положения в другое. А посему строгое определение работы объединяет величину перемещения тела с силой, которая действовала на тело в каждой точке этого перемещения. Пусть тело перемещается из точки 1 в точку 2 под действием некоторой силы F(r), направление и модуль которой могут меняться вдоль траектории произвольным образом (рис. 5.1).
Рис.5.l
Разобьем весь путь из 1 в 2 на столь малые отрезки, что движение на этих отрезках можно заменить на прямолинейное, а действующую на тело силу можно считать постоянной.
Другими словами, представим всю траекторию как совокупность малых векторов перемещений ∆г. Проекцию силы F на каждый из из этих векторов перемещений
обозначим F║. Тогда по определению величина
(5.1)
называется работой, совершаемой силой F на пути ∆r (∆r — модуль вектора перемещения ∆r). Здесь угол α это угол между векторами F и ∆r.
Определение работы (5.1) можно записать более компактно, как скалярное
произведение векторов F и ∆r, а именно:
∆А = F∆r. (5.2)
Полная работа, совершенная силой F на пути из 1 в 2, определяется, как сумма всех работ ∆А:
(5.3)
В частном случае, когда траектория является прямой линией и сила F постоянна по модулю и направлена вдоль перемещения тела из точки 1 в точку 2 (cosα = 1), для полной работы из (5.3) получаем:
(5.4)
где R — расстояние между точками 1 и 2. Работа может быть как положительной, так и отрицательной — все зависит от угла между силой и перемещением. Если в этом же примере сила была бы направлена не вдоль, а против перемещения тела (cos α = -1), то работа оказалась бы отрицательной (А = -FR). В этом случае говорят «над телом совершена работа».
Чтобы вычислить работу для произвольной траектории и произвольной силы, следует в определении (5.3) перейти к пределу ∆r —>> 0. Переход к пределу избавляет от произвола в выборе малых перемещений ∆r точно так же, как это было при определении скорости неравномерного движения через производную пути по времени. В нашем случае предельное значение ∆г обозначается, как dr. При таком предельном переходе сумма в (5.4) преобразуется в интеграл, так что определение работы (5.4) вдоль траектории
от точки 1 до точки 2 окончательно можно записать в виде
(5.5)
Величина работы, как видно из ее определения, не зависит от того, как долго родолжалось движение, но лишь от пройденного пути и действующей силы. Во многих случаях, однако, особенно в технике, оказывается важным и то, с какой скоростью совершается работа. Поэтому в механике вводится понятие мощности. Мощность — это работа, совершаемая в единицу времени, и ее строгое определение имеет вид
W = δA/dt. (5.6)
Единицы работы и мощности. В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 Н на пути в 1 м. Единицей мощности в СИ является ватт (Вт). Ватт — это такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа в один джоуль (Дж/с).Часто используют кратные единицы: киловатт (1кВт = 103 Вт), мегаватт A МВт = 106 Вт) и другие. Иногда (сейчас все реже и реже) можно встретиться с единицей мощности, которая называется лошадиной силой (л. с). Соотношение между ваттом и лошадиной силой: 1 л. с. = 736 Вт.
На заре цивилизации полезную работу получали, используя мускульные усилия человека или домашних животных. Затем человек стал осваивать природные источники для совершения работы — такими были, например, водяные мельницы, где полезная работа совершалась за счет движения водных потоков. И наконец, на рубеже XVII и XVIII веков была изобретена паровая машина, и это изобретение ознаменовало начало первой промышленной революции, кардинально изменившей условия человеческого существования. Вслед за этим и родилось понятие об «энергии», как о некой субстанции, содержащейся в горячем паре, которая может превращаться в работу. С тех пор поиск все новых и новых источников энергии стал одной из основных научно-технических задач человеческого общества.
Заметим сразу, что используемое в механике понятие энергии не содержит
в себе каких-либо новых свойств пространства, времени и движения по сравнению с теми, которые нашли свое отражение, скажем, во втором законе Ньютона. Как мы сейчас увидим, эта физическая величина довольно просто выражается через известные уже нам механические величины, такие как масса, скорость и т. п. Важная роль энергии в механике определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, величина энергии тела или системы тел определяет возможность совершать работу. Во-вторых, мы покажем, исходя
из второго закона Ньютона, что энергия замкнутой системы тел сохраняется, и этот закон сохранения, как и закон сохранения импульса, является полезным инструментом при решении многих механических задач.
Рассмотрим сначала простейший случай движения одного тела, которое можно рассматривать, как материальную точку. Его движение подчиняется второму закону Ньютона:
m(dv/dt) = F,
где F— сила, действующая на тело.
В механике вводятся два понятия: кинетическая энергия и потенциальная энергия. Мы начнем с обсуждения кинетической энергии. Кинетической энергией материальной точки Т называется величина
Т = mv2/2. (5.7)
Сначала покажем формально, что кинетическая энергия тела характеризует его способность совершать работу, а потом проиллюстрируем указанное свойство на конкретном примере. Начнем с того, что представим второй закон Ньютона в несколько иной форме. Для этого умножим скалярно левую и правую части уравнения C.4) на вектор dr — вектор бесконечно малого перемещения тела вдоль траектории. В результате получаем
m(dv/dt)dr = Fdr. (5.8)
Перегруппировав бесконечно малые множители, запишем левую часть (5.8)
в виде
m (dv/dt) dr = m dv (dr/dt) = mv dv.
Скалярное произведение векторов по определению равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть
vdv = v |dv| cos β = |v| d|v|,
где v и |dv| — модули вектора скорости v и вектора бесконечно малого приращения скорости dv, β — угол между vи dv. В последнем соотношении мы учли, что |dv|cosβ есть составляющая бесконечно малого приращения скорости, которая направлена вдоль вектора скорости v и поэтому равна приращению длины (модуля) этого вектора dv
(рис. 5.2). Это означает, что мы можем записать левую часть соотношения (5.8) в виде
m(dv/dt) dr = md(v2/2).
С учетом этого соотношения получаем вместо (5.8)
d (mv2/2) = F dr,
или dT = δA. (5.9)
Тем самым доказано, что изменение кинетической энергии материальной
точки при при ее перемещении на бесконечно малое расстояние dr равно работе, совершенной на этом расстоянии действующей на материальную точку силой. Обозначение малого приращения работы δA, вместо дифференциала, является
общепринятым. Так обозначаются в физике приращения величин, не являющихся в
пространстве функциями точки. Особенно важно будет отличать такие приращения от
так называемых полных дифференциалов в термодинамике.
Рис. 5. 2
Если тело совершает конечное перемещение вдоль некоторой траектории из точки
1 в точку 2 под действием силы F(r) (см. рис. 5.1), то всю эту траекторию можно разбить на элементарные бесконечно малые перемещения dr, по соотношению E.9) на каждом из этих перемещений определить изменение кинетической энергии, а затем просуммировать все эти изменения. Сумма бесконечно малых величин вычисляется с помощью интегрирования, так что для перемещения тела из точки 1 в точку 2 справедливо равенство
(5.10)
или, что то же,
T2-T1 =A(1 ->2). (5.11)
Как мы уже неоднократно подчеркивали, сила есть истинный вектор, поэтому правая часть (3.4) в общем случае представляет собой векторную сумму всех действующих на тело сил, как говорят, результирующую силу. Итак, приращение кинетической энергии материальной точки на любом отрезке траектории равно работе на этом отрезке результирующей всех действующих на нее сил. Отметим, что приращение кинетической энергии может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака суммарной совершенной силой работы (сила может либо ускорять, либо тормозить
движение тела). Еще раз обратим внимание на то, что в правой части (5.11)
стоит величина, зависящая от формы траектории 1 —>> 2, что и выражается
обозначением δА.
Из (5.11) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа,
и, следовательно, измеряется в тех же единицах.
Рис. 5.3
Полученное соотношение между работой и кинетической энергией указывает на способ получения полезной работы путем использования кинетической энергии каких-либо тел. Это можно показать на следующем примере. Представим себе горизонтальный цилиндр с поршнем (рис. 5.3). Пусть на поршень слева налетает какая-либо частица. В процессе столкновения с поршнем частица будет действовать на поршень с некоторой упругой силой, так что за время столкновения поршень приобретет некоторую начальную
скорость и, следовательно, некоторую начальную кинетическую энергию T0, из-за чего скорость частицы по модулю уменьшится, а, следовательно, уменьшится и ее кинетическая энергия на некоторую величину ∆T. Конкретные значения T0 и ∆T зависят от деталей столкновения, и для наших рассуждений они сейчас не играют роли. Важно, что приобретенную поршнем кинетическую энергию можно теперь превратить в полезную работу. Если на поршень действует только сила трения, то эта энергия будет «истрачена» на преодоление этой силы, то есть на перемещение поршня, как полезного груза, на определенное расстояние L. Если, например, сила трения FTp при перемещении остается постоянной, то величину L можно вычислить по формуле E.11), то есть из соотношения T0= FTpL. Несмотря на несколько абстрактный характер нашего примера,
рассмотренный способ превращения «чужой» кинетической энергии в полезную работу послужил в свое время основой для создания первых паровых машин.