Сходимость стационарных итерационных методов ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Рассмотрим СЛАУ
С невырожденной вещественной матрицей А и одношаговый стационарный итерационный метод, записанный в каноническом виде
где Решение системы (1) будем рассматривать как элемент n-мерного энергетического пространства
Смысл введения энергетического пространства Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (2).Погрешность метода на n-ой итерации характеризуется вектором
Говорят, что итерационный (2) метод сходится в энергетическом пространстве
Т е о р е м а. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица,
Тогда итерационный процесс (2) сходится в энергетическом пространстве со скоростью геометрической прогрессии Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим для погрешности и получим
Умножим (5) скалярно на и, учитывая, что получим основное энергетическое тождество
Пусть выполнено условие Докажем теперь, что
Поэтому из (6) получим неравенство
В силу сходимости последовательности
Далее, из уравнения (3) находим
Отсюда и из (8) следует, что Из (7) и (9) следует, что метод (2) сходится со скоростью геометрической прогрессии
где
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|