Сходимость стационарных итерационных методов

Рассмотрим СЛАУ

, (1)

С невырожденной вещественной матрицей А и одношаговый стационарный итерационный метод, записанный в каноническом виде

(2)

где - задан.

Решение системы (1) будем рассматривать как элемент n-мерного энергетического пространства , порождаемого самосопряженным положительно определенным в H оператором D:

Смысл введения энергетического пространства заключается в следующем. Как известно, последовательность элементов Н, сходящаяся в одной норме, сходится и в эквивалентной норме. Поэтому при исследовании сходимости конкретной итерационной схемы удобно выбрать такое энергетическое пространство , в котором операторы итерационной схемы А и В обладали бы заданными свойствам, например были самосопряженными положительно определенными.

Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (2).Погрешность метода на n-ой итерации характеризуется вектором , который согласно (1), (2) удовлетворяет однородному уравнению

. (3)

Говорят, что итерационный (2) метод сходится в энергетическом пространстве , если

Т е о р е м а. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица, и выполнено условие

. (4)

Тогда итерационный процесс (2) сходится в энергетическом пространстве , т.е.

со скоростью геометрической прогрессии , где .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим для погрешности основное энергетическое тождество. Подставим в (3) в виде

и получим

. (5)

Умножим (5) скалярно на

и, учитывая, что т.е. и

получим основное энергетическое тождество

. (6)

Пусть выполнено условие . Тогда первое слагаемое в (6) не отрицательно и, следовательно, . Поэтому последовательность невозрастающая и ограничена снизу нулем и в силу теоремы Вейерштрасса сходится при .