Широко используются следующие два пределаСтр 1 из 3Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 6 Лекция 11 Функция. Предел функции. Односторонние пределы функции Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Тогда число А называется пределомфункции у=f(х) при х х0 (в точке х=х0), если для любого >0 существует = ( )>0, такое, что при 0 <|х—х0|< справедливо неравенство |f(х)-А|< . Если А – предел функции f(х) при х х0, то записывают это так В самой точке х0функция f(х)может и не существовать (f(х0) не определено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N( )>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|< . Если существует предел вида , который обозначают также или f(х0-0), то он называется пределом слева функции f(х)в точке x0. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f(x0+0)), то он называется пределом справафункции f(х)в точке x0. Пределы слева и справа называются односторонними. Для существования предела функции f(х)в точке x0необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x0существовали и были равны, то есть f(x0-0)=f(x0+0). Основные теоремы о пределах.
Справедливы следующие основные теоремы о пределах. Теорема 1. Пусть существуют (i=1,…, п). Тогда Теорема 2. Пусть существуют и Тогда Эти утверждения сохраняются и при х0 = . Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида - , , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.
Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела 1) 2) , которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами. Если (т. Е. для любого >0 существует число >0, такое что при 0< < справедливо неравенство < ), то называется бесконечно малойфункцией или величиной при х . Для сравнения двух бесконечно малых функций и при х находят предел их отношения (1) Если С 0, то и называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка;если С=0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с . Если (0< < ), то называется бесконечно малойпорядка k, по сравнению с при х . Если , то бесконечно малые и при х называются эквивалентными(равносильными) величинами и обозначают ~ . Например, при х ~ , ~ х, ~ х, —1~ .. Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при х равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций и при х , т.е. верны предельные равенства Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.130--146.
Лекция 12 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|