Главная | Обратная связь

Широко используются следующие два предела

НЕДЕЛЯ 6

Лекция 11

Функция. Предел функции.

Односторонние пределы функции

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Тогда число А называется пределомфункции у=f(х) при х х₀ (в точке х=х₀), если для любого >0 существует = ( )>0, такое, что при 0 <|х—х₀|< справедливо неравенство |f(х)-А|< .

Если А – предел функции f(х) при х х₀, то записывают это так

В самой точке х₀функция f(х)может и не существовать (f(х₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N( )>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|< .

Если существует предел вида , который обозначают также или f(х₀-0), то он называется пределом слева функции f(х)в точке x₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f(x₀+0)), то он называется пределом справафункции f(х)в точке x₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х)в точке x₀необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀существовали и были равны, то есть f(x₀-0)=f(x₀+0).

Основные теоремы о пределах.

 

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i=1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х₀ = .

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида - , , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

 

Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.

Широко используются следующие два предела

1)

2) ,

которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.

Если (т. Е. для любого >0 существует число >0, такое что при 0< < справедливо неравенство < ), то называется бесконечно малойфункцией или величиной при х .

Для сравнения двух бесконечно малых функций и при х находят предел их отношения

(1)

Если С 0, то и называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка;если С=0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с .

Если (0< < ), то называется бесконечно малойпорядка k, по сравнению с при х .

Если , то бесконечно малые и при х называются эквивалентными(равносильными) величинами и обозначают ~ .

Например, при х ~ , ~ х, ~ х, —1~ ..

Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при х равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций и при х , т.е. верны предельные равенства

Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.130--146.

 

 

Лекция 12