ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1.

Найти область определения функции .

Решение.

Функция существует на всей числовой оси , так как при любом значении функция имеет определенное вещественное значение. Точек разрыва нет, поэтому интервал непрерывности совпадает с областью определения функции .

Задание 3.

1.Найти производные функций указанного порядка:

а) , ;

б) , ,

Решение.

а)Применим правило дифференцирования суммы , тогда

При дифференцировании первого слагаемого используем формулу , где – константа. Получим:

Для второго слагаемого применим формулу . Тогда

Итак, в результате получим:

б)Замечая, что является сложной функцией , где , применим правило дифференцирования сложной функции . Получим:

Итак, в ответе получаем .

Найдем . Так как , то . Применим формулу для вычисления производной произведения: , полагая , а . Таким образом . Как и выше, заметим, что – сложная функция , где , поэтому , а так как , имеем:

Итак, .

Задание 4.

Найти .

Решение.

Пояснения к решению:

1) В числителе применили формулу сокращенного умножения .

2) Поделив почленно числитель на знаменатель, представили подынтегральную функцию в виде суммы более простых функций.

3) Применили свойства неопределенного интеграла: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции, а также вынесли постоянный множитель за знак интеграла.

4) Использовали таблицу основных интегралов.

2.Найти .

Решение.

В этом интеграле надо сделать замену переменных.

Пояснения к решению:

1) Делаем замену переменных . В прямых скобках показано, почему делается именно такая замена. В остальных строках приведены вспомогательные выкладки.

2) Снова делаем замену переменных, возвращаясь к прежней переменной .

4.Найти .

Решение.

В этом случае необходимо применить формулу интегрирования по частям .

Пояснения к решению:

1) Применили формулу интегрирования по частям. Это дало возможность понизить показатель степени степенной функции.

2) Еще раз применили формулу интегрирования по частям.

Задание 5.

Вычислим интеграл , используя метод замены переменно

Ответ: .

Задание 6.

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим фигуру, площадь которой требуется найти (рис. 2).

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как , а вершина находится в точке , где

; .

Таким образом, .

Найдём точки пересечения параболы с осью :

; ;

;

Парабола пересекает ось абсцисс в точках и .

Для построения прямой, заданной уравнением , достаточно указать координаты двух её точек:

Найдём точку пересечения прямой и параболы. Для этого решим совместно систему уравнений:

Рис. 2

Итак, прямая пересекает параболу в точках и .Площадь заштрихованной фигуры найдём по формуле

где

, , , ,

так как прямая является верхней границей заштрихованной области, а парабола − нижней.

Итак,

Ответ:Площадь фигуры, ограниченной линиями и , равна кв. ед.

б) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .

Решение.Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , определяется по формуле:

Выразим через в уравнениях заданных кривых:

, . Решая систему уравнений

получим пределы интегрирования и .

Тогда

Ответ:Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , равен 0,47 куб. ед.

Задание 7.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя обе части, получим

Ответ:

Задача 8.

Группа студентов в течении недели осуществляет дежурство на 8 различных объектах. Сколькими способами можно составить расписание дежурств в субботу, если в этот день недели должно осуществляться дежурство только на 3 любых объектах?

Решение.Количество вариантов дежурств на объектах в субботу равно числу размещений из восьми элементов по три элемента. Находим = 8_*(8–1)_*(8–2) = 8_*7_*6 =336.

Ответ: Можно составить 336 различных вариантов дежурств на субботу на объектах.

Задача 9.

В полученной партии из 20 коробок лекарственных средств 5 коробок содержат брак. Для быстрого выяснения наличия брака в партии случайным образом вскрывают и обследуют 2 коробки. а) Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна браком. б) Найти вероятность этого же события, если обследовать 6 коробок.

Решение. Обозначим через А_i событие, состоящее в том, что i-ая извлеченная коробка окажется с браком; через А – хотя бы одна из коробок содержит брак. Тогда – ни одна из коробок не содержит брак.

а) Чтобы наступило событие необходимо, чтоб наступили одновременно события , , т.е. = × . Тогда по теореме умножения вероятностей [P(A×B)=P(A)×P(B|A)] получим

P( )=P( × )=P( )×P( | )= =0,553,

где – вероятность того, что в первой коробке не будет брака; – того, что во второй тоже не будет брака при условии, что в первой его не было. Итак

P(А)=1-P( )=1–0,553=0,447,

т.е. при таком способе проверки мы обнаружим брак в 45% случаев.

б) Чтобы наступило событие необходимо, чтоб наступили одновременно события , ,..., т.е. = × ×...× . Тогда по теореме умножения вероятностей [P(A×B)=P(A)×P(B|A)] получим

P( )=P( × ×...× )=P( )×P( | )×...×P( | ×...× )= = × × × =0,129.

Итак , P(А)=1-P( )=1–0,129=0,871,

т.е. при таком способе проверки мы обнаружим брак в 87% случаев.

Ответ: а) 0,447; б) 0,871.

Задача 10.

На следующий год в местности Х прогнозируют две вспышки гриппа. Причем в весенней вспышке заболевают 5%, а в осенне-зимней – 10% людей данной возрастной группы. Считая, что эти вспышки вызываются различными возбудителями (т.е. заболевания в эти периоды независимы) оценить вероятность того, что случайно взятый человек в следующем году переболеет гриппом хотя бы 1 раз.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно взятый человек заболеет гриппом весной, через В –осенью, через С – переболеет гриппом хотя бы 1 раз. Тогда С=А+В. По теореме [P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)] о вероятности суммы двух событий и по теореме [P(AB)= P(A)×P(B)] о вероятности произведения двух независимых событий получим:

P(С)=P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A)×P(B)=

=0,05+0,10-0,05×0,10=0,145,

т.е. 14,5% людей переболеют в этом году гриппом хотя бы 1 раз.

Ответ: 0,145.

Задача 11.

Молодожёны планируют, что у них будет 3 дочки и 2 сына. Считая, что у них действительно будет 5 детей найти шанс осуществления их желания, если вероятность рождения девочки 49%.

Решение.

Обозначим через А событие (успех), состоящее в том, что при данной беременности родится девочка. Тогда супружеская пара проводит 5 независимых «испытаний». Нас интересует событие, состоящее в наступлении ровно трёх успехов, и двух неуспехов. Воспользуемся формулой Бернулли наступления ровно m успехов в серии из n испытаний:

где p вероятность успеха в одном испытании. Итак, вероятность искомого события:

= 0,30601

Ответ: вероятность этого события 30%.

Задача 12.

Вероятность заболевания гепатитом для жителя некоторой области в определённый период года составляет 5×10^-4. Найти вероятность того, что среди 10000 обследованных жителей ровно 5 окажутся заболевшими.

Решение.

Вероятность успеха в одном испытании очень мала (р=0,0005), а количество испытаний велико (n=10000). Поэтому воспользоваться формулой Бернулли для вычисления вероятности наступления ровно m=5 успехов сложно с точки зрения громоздкости вычислений. Воспользуемся асимптотической формулой Пуассона

, где m=p×n.

Тогда m=0,0005×10000=5. И искомая вероятность равна

0,17547

Ответ: в 18% таких групп жителей будет ровно по 5 заболевших.

Задание 13.

Имеются 3 конверта. В первом конверте 25 контрольных работ по информатике; во втором – 10 контрольных работ по информатике и 5 контрольных работ по математике; в третьем – 15 контрольных работ по математике. Из выбранного наугад конверта вынули контрольную работу по информатике. Найти вероятность того, что контрольная работа взята из первого конверта (событие A).

Решение.

Из условия задачи, имеем: – событие, выбор первого конверта; – событие, выбор второго конверта; – событие, выбор третьего конверта.Так как выбор каждого конверта равновероятен, то имеем:

Соответственно вероятность выбора контрольных работ из первого, второго, третьего конвертов равна: .

Тогда вероятность выбора контрольных работ из первого конверта равна:

Ответ: вероятность выбора контрольной работы из первого конверта, равна 0,6.

Задание 14.

У 10 человек продолжительность инкубационного периода вирусного гепатита составила: 16, 20, 21, 15, 33, 39, 24, 24, 33, 39.

Требуется составить статистическое распределение и определить:

– математическое ожидание,

–дисперсию,

–среднеквадратическое отклонение.

Решение.

Составим статистическое распределение:

x_i
n_i

1. Найдем математическое ожидание по формуле:

2. Найдем дисперсию СВ по формуле:

3. Найдем среднеквадратическое отклонение СВ по формуле:

Задание 15.

Налоговый инспектор, изучая зависимость выработки (ус.ед.) на одного работника от величины товарооборота магазина (ус.ед.) за отчётный период обследовал десять магазинов и получил следующие данные.

Полагая, что между признаками и имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной корреляции. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте связи между и . Используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить (ус. ед.)