Главная | Обратная связь

Анализ переходных процессов спектральным

Методом.

Спектральный метод основан на применение преобразования Фурье. При этом вещественной функцией ставится в соответствии комплексно - значная функция мнимой переменной . Прямое и обратное преобразования Фурье имеют вид:

 

 

 

Анализ переходных процессов спектральным методом может осуществляться следующим образом:

1. Зная воздействие , находим его спектр

 

 

2. Зная спектр воздействия и соответствующую комплексную частотную характеристику (например ), находим спектр отклика:

 

 

3. По спектру отклика , используя обратное преобразование Фурье, находим отклик:

 

 

Следует иметь в виду, что преобразования Фурье применимы только для абсолютно интегрируемых функций . Последнее обстоятельство крайне ограничивает применение преобразований Фурье для анализа электрических цепей на практике.

 

Анализ переходных процессов операторным

Методом.

 

Операторный метод предполагает использование преобразования Лапласа (или Хависайда). При этом вещественной функцией от вещественного аргумента ставится в соответствии функция комплексной переменной . Прямое и обратное преобразование Лапласа имеют вид:

 

 

 

При использовании операторного метода для анализа электрических цепей реальные токи, напряжения, ЭДС заменяются их изображениями по Лапласу (или Хависайда) . При этом операторные сопротивления для резистора R индуктивности L и ёмкости C имеют вид:

 

; ; .

 

Напряжения на этих элементах в операторной форме связаны с током следующим образом:

 

; ;

,

 

где - ток через индуктивность непосредственно после коммутации, напряжение на ёмкости в тот же момент времени.

Для токов, напряжений, ЭДС, сопротивлений, проводимостей и т.д. в операторной форме справедливы все законы и методы, известные в теории электрических цепей постоянного тока, в частности, законы Кирхгофа:

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма операторных токов, входящих в узел, равна нулю

 

 

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма операторных напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме операторных ЭДС этого контура.

 

 

 

Анализ переходных процессов в электрических цепях рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1. Известные воздействия заменить их изображениями по Лапласу.

2. Определить независимые начальные условия.

3. Используя законы или методы теории цепей постоянного тока, составить систему уравнений относительно искомых токов или напряжений в операторной форме.

4. Найти изображения искомых токов или напряжений, решив полученную систему.

5. Перейти от изображений к оригиналам.

 

Замечание. Если все независимые начальные условия нулевые, то выражения для сопротивления, токов, напряжений и т.д. в операторной форме могут быть получены из соответствующих выражений в символической форме путём замены переменной на .

Если изображение по Лапласу искомой функции имеет вид рациональной дроби (именно так обстоит дело в случае постоянного синусоидального воздействия) и знаменатель этой дроби не содержит кратных корней, переход от изображения к оригиналу можно осуществить с помощью теоремы разложения:

 

 

где - корень многочлена . Если содержит кратные корни, следует пользоваться следующей формулой:

 

 

где - число различных корней знаменателя, m- кратность К-ого корня .