Производная. Правила и формулы дифференцирования.Стр 1 из 3Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 7 Лекция 13.
Производная. Правила и формулы дифференцирования. Напомним, что приращением функции у=f(х) называется разность , где - приращение аргумента х. Из рисунка видно, что (1). Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении кнулю называется производной функции у=f(х)в точкех и обозначается одним из следующих символов: у', f'(х), . Рис. 1. Таким образом, по определению (2) Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f(х)называют дифференцируемой в точке х,а операцию нахождения производной у' –дифференцированием. Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции у=f(х) (см. рис. 1). Легко показать, что с физической точки зрения производная у'=f'(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х. Если С — постоянное число и и=и(х), v=v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: 1) (С)'=0; 2) (х)'.=1; 3) (и v)'=и' v'; 4) (С и)'=С и' 5)(и v)'=и' v+иv'; 6) ; 7) ; 8) если у=f(и)и u= (х), т. Е. y=f( (x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то или ; 9) если для функции у=f(х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и , то f'(х) = . На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке Мо(х0; f(х0)) Уравнение нормалик кривой у=f(х)в точке Мо(х0; f(х0)): При f/(х0)=0 уравнение нормали имеет вид х=х0. Углом между кривыми в точке их пересеченияназывают угол между касательными к кривым в этой точке. Логарифмической производной функции у=f(х)называется производная от логарифма этой функции, т. Е. (ln f(x))’=f’(x)/f(x). Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции у=иv, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле у =иv ln и v' + v и v-1 и'. Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F(х, у)=0, то для нахождения производной у'= в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у', найти производную.
Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.155-167 Лекция 14.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|