Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
Производной второго порядкаили второй производной функции у=f(х) называется производная от ее первой производной, т. Е. (у')'. Обозначается вторая производная одним из следующих символов: у», f''(х), . Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то s'= - скорость, а s»= - ускорение этой точки. Если зависимость функции у от аргумента х задана в параметрическом виде уравнениями х=х(t), у=у(t), то: (3) где штрих обозначает производную по t. Производной n-го порядка функции у=t(х) называется производная от производной (n-1)-го порядка данной функции. Для n-й производной употребляются следующие обозначения: у(n), f(n)(х), . Таким образом, . Дифференциалом первого порядка функции у=f(x)называется главная, часть ее приращения, линейно зависящая от приращения независимой переменной х.Дифференциал функции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной поэтому –справедливо равенство Из рисунка видно, что если МN- дуга графика функции МТ –касательная, проведенная к нему в точке М(х, у),и то CT=dy, а отрезок Дифференциал функции dy о тличается от ее приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с Непосредственно из определения дифференциала и правил нахождения производных имеем: 1) 2) если х – независимая переменная; 3) 4) 5) 6) 7) Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции, т. Е. dny=d(dn-1y). Если дана функция у=f(х), где х – независимая переменная, то d2у= у»dх2, d3у=у'»dх3, …, dnу= y(n)dxn. Если у=f(u), где u= (x), то d2y=y//(du)2+y/d2u , где дифференцирование функции y выполняется по переменной и. (Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.) Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с величиной dх, то или , откуда . Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значений функции при малом приращении независимой переменной х. С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешность аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной. Пусть требуется вычислить значение функции у=f(х) при некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам неизвестна, но дано его приближенное значение x0 с абсолютной погрешностью : х=x0+dх, Тогда Отсюда видно, что = Относительная погрешность функции выражается формулой = Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.167-184
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|