Главная | Обратная связь

Условия применения рядов Тейлора.

16-17.

Степенной ряд есть функциональный ряд с общим членом f_n (y) = a_n( y – y₀ )ⁿ (n = 0, 1, 2, …) (a_n — действительные числа):

a_n( y – y₀ )ⁿ = a₀ + a₁( y – y₀ ) + a₂( y – y₀ )² + … + a_n( y – y₀ )ⁿ + …

Действительное число y₀ называется центром степенного ряда. Заменой переменного x = y – y₀ этот степенной ряд преобразуется в степенной ряд

a_n xⁿ = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ + …

с нулевым центром. В дальнейшем ограничимся исследованием рядов именно такого вида.

Существуют степенные ряды, которые

а) сходятся при всех x (всюду сходящиеся степенные ряды), например ;

б) сходятся только при x = 0, например n! xⁿ;

в) для некоторых x ≠ 0 сходятся, для других расходятся, например xⁿ.

Свойства степенных рядов.

1. Если степенной ряд a_n xⁿ сходится при x₁, то он абсолютно сходится для всех x, удовлетворяющих неравенству | x | < | x₁ |, а если степенной ряд расходится при x₂, то он расходится и для всех х, удовлетворяющих неравенству | x | > | x₂ |.

 

1. Если степенной ряд a_n xⁿ при некоторых x ≠ 0 сходится, а при остальных расходится, то существует, и притом только одно, положительное число r такое, что степенной ряд при | x | < r сходится, и даже абсолютно, а при | x | > r расходится. При x = r и x = – r ряд может как сходиться, так и расходиться. Число r называют радиусом сходимости степенного ряда. Если r > 0, то промежуток (– r, r) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Для вычисления радиуса сходимости используется теорема Коши – Адамара: радиус r сходимости ряда a_n xⁿ равен обратной величине верхнего предела последовательности { }:

r =

(при этом r = ∞, если = 0, и r = 0, если = ∞).

Верхний предел r числовой последовательности {b_n} есть верхняя граница «сгущения» последовательности, т. е. для любого ε > 0 существует только конечное число индексов n таких, что b_n > r + ε, но для бесконечного числа n справедливо неравенство b_n > r – ε. Если для любого действительного числа C имеется бесконечное множество индексов n таких, что b_n > C, то говорят, что верхний предел равен + ∞; если напротив, имеется только конечное число индексов n таких, что b_n > C, то говорят, что верхний предел равен – ∞. Верхний предел существует всегда. Если существует , то

= .

Радиус сходимости r степенного ряда a_n xⁿ может быть вычислен также при помощи признака Даламбера: если существует предел = q, то r = (r = ∞ при q = 0 и r = 0 при q = ∞).

 

1. В каждой внутренней точке интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно. Во всяком замкнутом промежутке, который целиком лежит в интервале сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Если степенной ряд сходится при x = r (не обязательно абсолютно), то степенной ряд на [0 , r] сходится равномерно. (Если степенной ряд расходится при x = r, то на отрезке [0 , r] степенной ряд не может сходится равномерно.)

 

1. Степенные ряды a_n xⁿ и a_{n + k} xⁿ (k = 0, 1, 2, …) имеют один и тот же радиус сходимости, однако в граничных точках интервала сходимости ряды могут иметь различное поведение.

 

1. Теорема единственности разложения в степенной ряд. Если два ряда a_n xⁿ и b_n xⁿ сходятся в одном и том же интервале | x | < r и во всех его точках (или только в бесконечном подмножестве точек, имеющих нуль в качестве предельной точки) имеют одинаковые суммы, то эти суммы совпадают, т. е. a_n = b_n для n = 0, 1, 2, …

 

1. Если a_n( x – x₀ )ⁿ — степенной ряд с радиусом сходимости r > 0, то его сумму f (x) можно разложить также в степенной ряд с центром в любой точке x₁ из интервала сходимости:

f (x) = b_n( x – x₁ )ⁿ, где b_n = a_{n + m}( x – x₁ )^m.

При этом все ряды, которые представляют b_n, сходятся (см. свойство 4), а для радиуса сходимости r₁ нового ряда справедливо неравенство

r₁ ≥ r – | x – x₀ |.

 

1. а) Сумма f (x) степенного ряда a_n xⁿ для всех значений x из интервала сходимости (– r, r) есть непрерывная функция. Если степенной ряд сходится при x = r, то сумма f (x) при этом значении x также непрерывна (слева):

f (x) = a_n rⁿ.

Если степенной ряд сходится при x = – r, то сумма f (x) при x = – r непрерывна справа (теорема Абеля о предельном значении).

б) Степенной ряд a_n xⁿ всегда можно почленно интегрировать на отрезке [0, x₁], где | x₁ | < r:

f (t) dt = a_n tⁿ dt = a_n ;

при этом x₁ может совпадать с одним из концов интервала сходимости, если степенной ряд сходится в этой точке.

в) Степенной ряд a_n xⁿ внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

f ' (x) = a_n = n a_n x^{n – 1}.

Это утверждение верно также и для концов интервала сходимости, если ряд n a_n x^{n – 1} сходится в этих точках. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать любое число раз:

f ^(k) (x) = a_n x^{n – k} = k! a_{n + k} xⁿ.

 

1. Действия со степенными рядами.

а) Если f (x) = a_n xⁿ и g (x) = b_n xⁿ, то для любого x, являющегося внутренней точкой интервалов сходимости обоих рядов, можно построить сходящиеся ряды

f (x) ± g (x) = (a_n ± b_n) xⁿ , f (x) · g (x) = a_m b_{m – n} xⁿ.

б) Пусть g (x) — сумма степенного ряда с радиусом сходимости r : g (x) = b_n xⁿ, а f (u) — сумма степенного ряда с радиусом сходимости r' : f(u) = a_n uⁿ. Тогда F (x) = f (g (x)) снова есть сумма некоторого степенного ряда: F (x) = c_n xⁿ — по крайней мере для тех x, для которых ряд |b_n xⁿ| сходится и имеет сумму, меньшую, чем r'. Коэффициенты c_n вычисляются при помощи рядов: c_n = a_m b_mn которые абсолютно сходятся при условии, что | b₀ | < r', где (g (x))^k = b_kn xⁿ. Другими словами, чтобы получить степенной ряд F (x), можно подставить u = b_nxⁿ в степенной ряд a_n uⁿ и привести подобные члены.

в) Если функция f (x) в окрестности нулевой точки есть сумма степенного ряда a_n xⁿ и f (0) – a₀ ≠ 0, то функция в окрестности нулевой точки есть сумма некоторого степенного ряда c_n xⁿ; так как для малых x оба ряда сходятся, то

1 = · f (x) = a_m c_{n – m} xⁿ,

и согласно теореме о единственности разложения функции в степенной ряд выполняются соотношения

1 = a₀ c₀, 0 = a_m c_{n – m} при n ≥ 1;

отсюда можно найти c_n. Точно так же можно представить отношение двух функций g/f, являющихся суммами степенных рядов, как сумму степенного ряда c_n xⁿ в некоторой окрестности нуля, если a₀ = f (0) ≠ 0. Коэффициенты c_n вычисляются из соотношения

= c_n xⁿ

или b_n xⁿ = a_n xⁿ c_n xⁿ ,

т. е. из системы b_n = a_m c_{n – m} для n = 0, 1, 2, …

18.Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.