Расчёт компромиссных кривых.
Аналитический подход. Если функции F1(X) и F2(X) дифференцируемы, то можно попытаться найти геометрическое место точек соприкосновения поверхностей уровня F1(X)=b1 и F2(X)=b2. В таких точках gradF1=-lgradF2, 0£ l< ¥. Последнее векторное уравнение равносильно n скалярным алгебраическим уравнениям которые определяет кривую в пространстве параметров x1=j1(l), ..., xn=jn(l). Если участок этой кривой, на котором l³0 принадлежит множеству D, то он принадлежит и множеству P (P - множество Парето). Участок КК в этом случае определяется параметрическими уравнениями: F1=F1(j1(l), ..., jn(l)), F2=F1(j1(l), ..., jn(l)), l³0. Пример 1. В квадрате D={-1£ x1 £ 1, -1£ x2 £ 1} заданы два критерия которые желательно минимизировать. 1. Находим минимумы функций F1 и F2 . Абсолютные минимумы находятся в точках (0,0) и (-1,1) и принадлежат D. 2. Находим частные производные составляем систему уравнений 4x1=-l (x1+1) x2=-l (x2-1). Отсюда получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве параметров В данном случае можно получить уравнение этой кривой в более распространённой форме: y=f(x). Для этого решаем эти уравнения относительно параметра l. Получим Приравнивая правые части и разрешая относительно x2, получим уравнение паретовской кривой P: . Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид F1(l)= F2(l)= . Закономерность КК: F1 возрастает от 0 до 5, а F2 убывает от 2 до 0. Построим графики паретовских кривых в области D и пространстве критериев (рис. 6 и 7).
Рис. 6. Область D и множество P Рис. 7. Компромиссная кривая
Пример 2. В области D1={-0.5 £ x1 £ 0.5, 0 £ x2 £ 1} заданы два критерия которые нужно минимизировать с учетом функциональных ограничений úx2-x1-0.375ú ³ 0.125. а) рассмотрим сначала случай без функциональных ограничений 1. Находим минимумы функций F1 и F2. Абсолютные минимумы находятся в точках X1opt=(0,0) и X2opt=(-1,1) и первая точка принадлежат D, а вторая нет. Находим условный минимум для функции F2: X2услов=(-0.5, 1); находим значения функций в этой точке F2(-0.5,1)=0.25, F1(-0.5,1)=4.25. 2. Находим частные производные составляем систему уравнений 2x1=-2l (x1+1), 8x2=-2l (x2-1). Отсюда получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве параметров В данном случае можно получить уравнение этой кривой в более распространённой форме: y=f(x). Для этого решаем эти уравнения относительно параметра l. Получим Приравнивая правые части и разрешая относительно x2, получим уравнение паретовской кривой P: . Найдём точку пересечения кривой с x1=-0.5. Получим Xп=(–0.5; 0.2). Это соответствует случаю, когда λ меняется от 0 до 1 (0≤λ≤1). Для удобства введём новые обозначения: P1 – паретовская кривая в области D1 и КК1 – соответствующая компромиссная кривая в области критериев. Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид (когда точки X1opt=(0,0) и X2opt=(-1,1) принадлежат области D) F1(l)= F2(l)= . Построим графики паретовских кривых в области D и пространстве критериев (рис. 8 и 9).
Рис. 8. Область D1 и множество P1 Рис. 9. Компромиссная кривая КК1
Рис. 10. Пространство оценок и компромиссная кривая Таким образом, паретовская кривая P1 будет состоять из двух кусков: от X1opt Xп и от XП до X2усл. Как видно из рисунка 8 на отрезке [-0.5,0] P и P1 совпадают. Компромиссная кривая КК1 также состоит из двух частей. Левая часть от 0 до 0.41, которая совпадает с компромиссной кривой КК и правая часть, которая соответствует второй части кривой P1. Закономерность КК: F1 возрастает от 0 до 4.25, а F2 убывает от 2 до 0. б) введём функциональные ограничения. Область D1 в этом случае будет иметь вид (см. рис. 11). Находим условный минимум для функции F1 и F2 . Они лежат в точках X1opt=(0,0) и X2opt=(-0.5, 1). Как видно из полученных результатов точки минимумов не изменились.
Рис. 11. Область D1 Рис. 12. Пространство оценок Рис. 13. Область D (синий цвет) и множество Парето (тёмно-синий цвет) Из рассмотренного примера видно, что нахождение множества P в аналитическом виде является сложной задачей. Поэтому в настоящее время широко используются численные методы построения решений оптимальных по Парето (см. раздел "Численные методы получения множеств Парето"). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|