Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: Вопрос Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |x —а|<d. Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством Тогда получим: Приняв во внимание равенство: (функция Лапласа—нечетная), окончательноимеем Вероятность заданного отклонения равна На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-d,d),больше у той величины, которая имеет меньшее значение d. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра s . Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех. Решение: Воспользуемся формулой По условию , тогда Вопрос Показательное распределение, распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей р (х), равной при х ³ 0 показательной функции le-lx, l > 0 [отсюда название П. р.] и при х<0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X, имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна e-lx. П. р. является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых значений x1 и x2 выполняется равенство P(X>x1+x2)=P(X>x1) P(X>x2) Роль, которую П. р. играет в задачах массового обслуживания теории, где предположение о П. р. времени обслуживания является естественным. Вопрос Центральная предельная теорема - общее название ряда предельных теорем теории вероятностей, указывающих условия, при выполнении к-рых суммы или другие функции от большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин имеют распределения вероятностей, близкие кнормальному распределению. Функции распределения Вопрос Правило 3-х Сигм Преобразуем формулу Введем обозначение Тогда получим: Если t=3, то т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально. Вопрос Математическая статистика раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные таблиц 1а и 2а). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|