Главная | Обратная связь

Застосування лінійного та нелінійного програмування у системному аналізі

1)Одним з головних розділів математичного програмування є лінійне програмування. Це область математики, що вивчає задачі відшукання екстремуму (максимум, мінімум) лінійної функції на області допустимих значень змінних, окресленої обмеженнями у вигляді лінійних рівнянь та нерівностей, які пов’язують ці змінні.

До задач лінійного програмування зводиться широке коло задач управління функціонуванням економічних систем.

Термін лінійне програмування започаткували 1951 р. американські учені Дж. Данціг і Т. Купманс стосовно шуканих змінних, які в економічному розумінні інтерпретують як програму чи план функціонування економічного об’єкта.

Загальну задачу лінійного програмування сформульовано так: потрібно знайти змінні x₁, x₂, …, x_j, …, x_n, які надають екстремального (мінімального, максимального ) значення цільовій функції: (7.1) і задовольняють обмеження : ; ; xj>=0 , j=1, 2, …, n, (7.4) де c_j (j=1, 2, …, n); a_ij (i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n); A_i, B_i (i=1, 2, …,m) – заздалегідь відомі величини. Лінійне програмування є найбільш вивченим розділом математичного програмування .

Задачами лінійного програмування є транспортна задача, теорії ігор, положення теорії двоїстості та інші.

Лінійне програмування знаходить своє застосування у різних сучасних і класичних областях математики: теорії графів, комбінаториці, теорії наближення функцій, теорії лінійних нерівностей та інших.

2)Важливим розділом математичного програмування є нелінійне програмування. Цей розділ математичного програмування вивчає методи відшукання розв’язків багатовимірних екстремальних задач з обмеженнями, причому функціональні залежності у цих задачах не вважають лінійними. Суть загальної задачі нелінійного програмування полягає у визначенні n-вимірного вектора x=(x₁, x₂, …, x_n) з заданими функціями f(x), g1(x), g2(x), …, gm(x), який надавав би функції f(x) глобального екстремуму і задовольняв би умови: g_i(x) 0, i=1, 2, …, m; x_j 0, j=1, 2, …, n, які означають множину M допустимих значень вектора X.

Нелінійне програмування охоплює дуже широке коло задач математичного програмування. Важливим для пошуку розв’язання задачі нелінійного програмування є метод множників Лагранжа, який передбачає побудову функції Лагранжа: F(x, )=f(x)+ де число – множники Лагранжа.

З метою визначення вектора x* , який належить множині M і надає мінімального значення функції f(x), потрібно знайти m чисел , , і n чисел x₁, x₂, …, x_n вектора x* ,які задовольняють систему m+n рівнянь:

g_I(x)=0, i=1 ,2,…, m.

Для розв’язку цієї системи потрібно, щоб хоча б один із визначників m-го порядку матриці

не дорівнював нулю.