 |
|
Числові характеристики розподілу випадкових величин
Математичне сподівання (очікування):
 .
| (4.7) |
Математичне сподівання визначає положення розподілу, геометрично воно інтерпретується як центр ваги площі, обмеженої кривою розподілу і віссю абсцис (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Криві розподілу із різними математичними сподіваннями( 
).
Дисперсія, стандарт, коефіцієнт варіації.
Дисперсія - це математичне сподівання квадрата відхилення ВВ 
від її центра 
 .
| (4.8) |
Геометрично дисперсія може розглядатися як центральний момент інерції площі, обмеженої кривою розподілу.
Рис. 4.4. Криві розподілу із різними стандартами ( 
).
Середнє квадратичне відхилення (стандарт) 
і коефіцієнт варіації V характеризують розкид значень випадкової величини (рис. 4.4)
  .
| (4.9) |
Коефіцієнт асиметріїАх визначає скошеність розподілу випадкової величини (рис. 4.5-а)
 ,
| (4.10) |
де 
- центральний момент третього порядку, він дорівнює
 .
|
ЕксцесЕх оцінює шпилястість (приплюснутість) розподілу випадкової величини (рис. 4.5-б):
 .
| ( 4.11 ) |
Рис. 4.5. Криві розподілу: а) з різною асиметрією ( 
, 
, 
);
б) з різним ексцесом ( 
, 
, 
)
Нормальний закон розподілу випадкових величин
Густина нормального розподілу (Гауса) описується виразом
 .
| (4.12) |
Це симетричний дзвоноподібний розподіл, що визначається двома параметрами: і 
(рис. 4.6).
Рис. 4.6. Нормальний закон розподілу
Це найбільш поширений у теорії і практиці закон, представлений у вигляді таблиць, що наводяться у будь-якому посібнику з теорії ймовірності. Це пов’язано з його простотою, теоретичною обґрунтованістю (до нього прямує сума незалежних ВВ із будь-якими розподілами при умові збільшення кількості цих ВВ), розповсюдженістю на практиці: для оцінки похибок дослідів точності вимірів, якості виготовлення тощо.
Ординати нормованої нормальної кривої при 
і 
| (4.13) |
наведені у табл. П-5-1 посібника [1].
Функція нормального розподілу визначається інтегруванням густини (4.13) і може бути легко розрахована за допомогою табульованих функцій Лапласа (табл. П-5-2 посібника [1].):
 .
| (4.14) |
Знак плюс відповідає позитивному значенню нормованого відхилення, знак мінус - негативному значенню.
 .
| (4.15) |
Таким чином, вихід випадкової величини за межі 
має ймовірність 0,27%, тобто є практично неможливим (правило “трьох сiгма”).