 |
|
Основні теоретичні відомості
Електричні коливання можна збудити в системі (замкненому електричному колі), яка називається коливальним контуром. Реальний коливальний контур складається з послідовно з’єднаних конденсатора С, котушки індуктивності L та резистора R (рис. 1). Омічний опір R контура складається з опорів самого резистора, котушки та з’єднувавальних провідників. Якщо зарядити конденсатор такого контура, а потім від’єднати конденсатор від джерела енергії, то він почне розряджатися, і в контурі буде проходити змінний електричний струм. Струм зменшується за величиною без зміни свого напрямку, що призводить до перезарядки конденсатора. Причиною поступового, а не стрибкоподібного зменшення або збільшення струму в контурі є ЕРС самоіндукції, яка виникає в котушці індуктивності при зміні сили струму в контурі. Саме ця ЕРС є причиною перезарядки конденсатора і відповідно причиною виникнення коливань в контурі. В контурі будуть періодично змінюватись заряд конденсатора q, сила струму І, напруга U на обкладках конденсатора, напруженість електричного поля Е між обкладками конденсатора, індукція магнітного поля В у котушці індуктивності і т. ін.
У реальному коливальному контурі його активний опір R не дорівнює нулю, тому при проходженні струму виділяється теплота, енергія контура зменшується. В результаті в такому контурі амплітуда коливань фізичних величин буде поступово зменшуватися. Ці коливання називаються згасаючими. Чим більший активний опір контура, тим швидше іде процес згасання.
Якщо активний опір контура перевищує деяке критичне значення Rкр, то коливання в контурі не будуть відбуватися. Заряд конденсатора при цьому буде монотонно зменшуватись, з часом наближаючись до нуля. Такий процес називається аперіодичним. Якби активний опір контура дорівнював нулю, контур був би ідеальним. Коливання в такому контурі були б незгасаючими, тобто вони продовжувалися б нескінченно довго без зменшення амплітуд величин, що змінюються.
Запишемо диференціальне рівняння електричних коливань для реального контура. З урахуванням другого правила Кірхгофа для контура, зображеного на рис. 1, можна записати:
. (1)
Оскільки 
, 
, то рівняння (1) можна записати у вигляді
(2)
або
, (3)
де b – коефіціент згасання, 
; w – власна частота коливань контура, 
.
Розв’язок рівняння (3) має вигляд:
), (4)
де q0 – максимальне значення заряду конденсатора при t=0; 
– амплітуда згасаючих коливань величини заряду; 
– циклічна частота коливань; 
– початкова фаза коливань.
. (5)
Період коливань
. (6)
Як видно із формул (4) і (6), амплітура згасаючих коливань з часом експоненціально зменшується, а період і частота коливань залишаються незмінними. За відсутності згасання (R=0, b=0) частота коливань контура
, (7)
а період Т коливань визначається за формулою
. (8)
Вираз (8) називається формулою Томсона. Для незгасаючих коливань заряд на обкладках конденсатора буде змінюватись за законом
. (9)
Графіки залежності зміни заряду конденсатора з часом для незгасаючих і згасаючих коливань показані на рис. 2 (відповідно криві а і в).
Незважаючи на те, що згасаючі коливання в точному розумінні слова не є періодичними, для них використовують поняття “період коливань”, як найменший проміжок часу між двома проходженнями величини, яка змінюється (наприклад, q), через максимум або мінімум.
Кількісною характеристикою швидкості згасання є логарифмічний декремент згасання – l. Він дорівнює натуральному логарифму відношення амплітуд, взятих через один період:
або
.
Амплітуди коливань величини заряду в контурі
An=q0 e-bt, An+1=q0 e-b(t+T),
тому
.
Фізичний зміст логарифмічного декременту згасання такий: l числово дорівнює величині, оберненій до кількості коливань Ne, по проходженні яких амплітуда зменшується в е»2,178 раз.
Електричні коливальні контури є головним елементом радіоприймачів, телевізорів, мобільних телефонів тощо. В радіотехніці якість коливальних контурів визначають їх добротністю Q, яка визначається за виразом
.
Чим менше l, тим вища добротність контура. За умови 
, логарифмічний декремент згасання
, (10)
тобто за умови 
логарифмічний декремент згасання лінійно залежить від омічного опору контура.
Коли активний опір контура дорівнює Rкр, виконується умова 
, ®0, Т®¥. Коливання в контурі виникати не будуть. Заряд конденсатора з часом буде зменшуватись, асимптотично наближаючись до нуля. Графік цієї залежності показано на рис. 2 (крива с). Такий процес називається аперіодичним.