Лекція 7. Електричні коливання.

Розглянемо такий ідеальний (R = 0) коливальний контур.

Конденсатор ємністю С, попередньо заряджений від зовнішнього джерела до напруги U_C. Енергія електричного поля конденсатора складає . До зарядженого конденсатора приєднується ідеальна котушка з індуктивністю L. Оскільки конденсатор через котушку почне розряджатись в колі виникне струм і.

Енергія електричного поля конденсатора перетворюється на енергію магнітного поля котушки . В той момент, коли конденсатор повністю розрядиться і його напруга впаде до нуля, струм в колі досягне максимального значення І_m. ЕРС самоіндукції e_L котушки в цей час діє зустрічно струму, гальмуючи його збільшення. В другій чверті періоду напруга U_C збільшується і конденсатор заряджається за рахунок накопиченої енергії котушки при тому ж напрямку струму, який зменшується до нуля і який в цей час підтримується ЕРС самоіндукції e_L, що змінила свій напрямок. Процес повторюється, але при зворотному напрямку струму.

Отже в ідеальному колі буде безперервно відтворюватись перезаряд конденсатора через котушку індуктивності – утворяться вільні коливання.

В реальному коливальному контурі, де є активний опір (R ¹ 0), де є теплові втрати енергії – коливання в контурі будуть затухаючими.

Математичний аналіз показує, що при замиканні зарядженого конденсатору на ідеальну котушку в колі, що утворюється, виникає змінний синусоїдальний струм i = I_m sin w₀t. Частота цього струму визначається параметрами L і C контуру

Величину f₀ прийнято називати власною частотою коливального контуру.

Як відзначалось, в дійсності контур має активний опір, що призводить до втрат енергії. Електромагнітний коливальний процес, що відбувається в контурі за рахунок початкового запасу енергії, поступово вщухає і повністю припиняється, коли весь запас енергії розсіється в оточуюче середовище у вигляді тепла.

Щоб підтримувати невщухаючі коливання енергії між електричним і магнітним полями, тобто отримати в контурі синусоїдальний струм з незмінною амплітудою, потрібно підводити до контуру енергію, що компенсує теплові втрати. Передача контуру цієї енергії повинна проводитись періодично – в такт з власними коливаннями контуру. Це означає, що на протязі кожного періоду до контуру необхідно підвести кількість енергії, що втрачається ним у вигляді тепла.

Це можна здійснити, якщо в коло коливального контуру включити джерело змінного струму з частотою f, рівною частоті f₀ коливального контуру.

По аналогії з механічною системою, де збіг частоти вимушених коливань з частотою власних коливань механічної системи має назву резонанс, процес, що протікає в електричному коливальному контурі також має назву резонанс.

Одними з ознак резонансу в електричному колі, що має L і C, є збіг за фазою напруги u і струму і джерела, що живить це коло, а також та обставина, що повний опір кола складає тільки активний опір.

Розрізняють:

1. резонанс напруг, коли джерело, котушка і конденсатор утворюють послідовне коло.

2. резонанс струмів, коли котушка і конденсатор включені паралельно по відношенню до джерела змінного струму.

Резонанс напруг.

Розглянемо коло:

Як відзначалось, при резонансі струм і напруга співпадають за фазою, тобто j = 0 і повний опір кола дорівнює його активному опору

Ця рівність буде мати місце, коли X_L = X_C, тобто реактивний опір кола дорівнює 0: Х = X_L – X_C = 0, де X_L = wL = 2pfL і X_C = 1/(wС) = 1/(2pfC), тобто: 2pfL = 1/(2pfC). Звідки:

.

Отже, при X_L = X_C , а це може бути, коли частота підведеної напруги дорівнює частоті, що визначена останньою формулою, в колі виникає резонанс напруг.

З виразу закону Ома для послідовного кола випливає, що струм в колі при резонансі дорівнює напрузі, поділеній на активний опір I=U/R. Отже струм в колі може виявитись значно більшим за струм, який би мав бути при відсутності резонансу.

При резонансі напруга на індуктивності дорівнює напрузі на ємності

IX_L = IX_C = U_L = U_C.

При великих значеннях X_L і X_C відносно R ці напруги можуть в багато разів перевищувати напругу живлення. Підвищення напруги (перенапруга) на окремих ділянках кола, якщо воно заздалегідь не враховане, є небезпечним для цілісності ізоляції електричної установки.

Резонанс в колі при послідовному з’єднані споживачів має назву резонанс напруг.

Напруга на активному опорі при резонансі дорівнює напрузі, що прикладена до кола U_R= IR = U.

Векторна діаграма при резонансі (на малюнку діаграма б)) ілюструє той факт, що струм співпадає за фазою з напругою і що напруга на активному опорі дорівнює напрузі живлення.

Реактивна потужність при резонансі дорівнює нулю

Q = Q_L – Q_C = U_LI – U_CI = 0, оскільки U_L = U_C.

Повна потужність дорівнює активній потужності , оскільки Q = 0.

Коефіцієнт потужності дорівнює одиниці сos j = P/S = R/Z = 1.

Оскільки резонанс напруг виникає, коли індуктивний опір послідовного кола дорівнює ємнісному, а їх значення визначаються відповідно індуктивністю, ємністю кола і частотою живлення (X_L = 2pfL і X_C = 1/(2pfC)), то резонанс може бути досягнутий або шляхом підбору параметрів кола при заданій частоті живлення, або шляхом підбору частоти живлення при заданих параметрах кола.

В інтервалі частот f = 0 ¸ f_рез навантаження має активно–ємнісний характер, струм випереджає за фазою напругу живлення.

В інтервалі частот f = f_рез ¸ ¥ навантаження має активно–індуктивний характер, струм відстає за фазою від напруги живлення.

Найбільше значення напруги на ємності отримується при частоті трохи меншій за резонансну, а на індуктивності – на частоті трохи більшій за резонансну.

В ряді областей електротехніки резонанс напруг знаходить корисне застосування. Коливальні контури, наприклад, є обов’язковою частиною радіотехнічних пристроїв. Зокрема, настройка радіоприймача полягає в тому, щоб шляхом зміни ємності С або індуктивності L досягнути збігу частоти коливального контуру в приймачі з частотою генераторів радіостанції.

 

Резонанс струмів.

Резонанс струмів може виникнути в паралельному колі, одна з віток якого включає L і R, а інша C і R.

Резонансом струмів називають такий стан кола, коли струм в нерозгалуженій частині кола (І) співпадає за фазою з напругою, реактивна потужність дорівнює нулю і коло споживає тільки активну потужність.

Як це видно з векторної діаграми (б), загальний струм в колі співпадає за фазою з напругою, якщо реактивні складові струмів у вітках з індуктивністю і ємністю рівні за модулем |І_р1| = |І_р2|.

Реактивна складова загального струму кола, що дорівнює різниці реактивних складових струмів, в цьому випадку дорівнює нулю І_р1 – І_р2 = 0.

Загальний струм кола має тільки активну складову, що дорівнює сумі активних складових струмів у вітках І = І_а = І_а1 + І_а2.

Виразивши реактивні складові струмів через напруги і реактивні опори отримаємо

або Ub_L = Ub_C, де b_L і b_C відповідні реактивні провідності.

Звідки b_L = b_C.

Отже, при резонансі струмів реактивна провідність вітки з індуктивністю дорівнює реактивній провідності вітки із ємністю.

Виразивши b_L і b_C через опори відповідних віток можна визначити резонансну частоту контуру:

.

Звідки: .

В ідеальному випадку, коли R₁ = R₂ = 0: .

При резонансі струмів коефіцієнт потужності дорівнює одиниці cos j =1.

Повна потужність дорівнює активній потужності S = P.

Реактивна потужність дорівнює нулю Q = Q_L – Q_C = 0.

Енергетичні співвідношення в колі при резонансі струмів аналогічні процесам, що проходять при резонансі напруг.

Реактивна енергія діє всередині кола. В одну частину періоду енергія магнітного поля індуктивності переходить в енергію електричного поля ємності, в наступну частину періоду енергія електричного поля ємності переходить в енергію магнітного поля індуктивності. Обміну реактивною енергією між споживачами кола і джерелом живлення нема. Струм в проводах, що з’єднують коло з джерелом, обумовлений тільки активною потужністю.

Для резонансу струмів характерно, що загальний струм в нерозгалуженій частині кола при певному збігу параметрів кола може бути значно меншим струмів в кожній з віток. Для ідеального кола (R₁ = R₂ =0) загальний струм дорівнює нулю, а струми віток з ємністю і індуктивністю існують: вони рівні за модулем і зсунуті за фазою на 180°.

Резонанс в колі при паралельному з’єднанні споживачів називається резонансом струмів.

Резонанс струмів може бути отриманий шляхом підбору параметрів при заданій частоті джерела живлення або шляхом підбору частоти джерела живлення при заданих параметрах кола.