 |
|
ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
1. Равномерное распределение. Плотность равномерного или прямоугольного распределения:
,
т.е. вероятности 
всех возможных значений 
случайной величины 
одинаковы и равны 
.
Математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением равно
,
дисперсия 
.
Функция распределения имеет вид 
, 
(рис. 3.5).
Рис. 3.5. Графики плотности и функции равномерного распределения
2. Показательное (экспоненциальное) распределение -закон, функция плотности распределения которого имеет вид: 
, где параметр распределения 
есть действительное число (постоянный параметр) (рис. 3.6).
Функция распределения показательного закона имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону, равны соответственно 
, 
.
Рис. 3.6. Графики плотности и функции показательного распределения
3. Нормальное распределение.Нормальный закон распределения вероятностей занимает особое место среди других законов распределения. В теории вероятности доказывается, что плотность вероятности суммы независимых или слабо зависимых, равномерно малых (т.е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределению независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предельная теорема А. М. Ляпунова).
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины 
имеет вид: 
, где 
и 
– вещественные параметры распределения, имеющие конечные значения, при этом часто используют обозначение 
.
Функция распределения записывается в виде
,
Здесь 
– табулированный интеграл вероятности (значения интеграла можно найти во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей). Функция и плотность нормального распределения изображены на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Графики плотности и функции нормального распределения
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 
, дисперсия 
. Таким образом, параметры и имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического значения (отклонения) случайной величины.
Распределение, описываемое функцией 
, называется нормальным или распределением Гаусса.
На рис.3.8 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения 
.
Рис. 3.8. Кривые нормального распределения, .
Из рис. 3.8 видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.
Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов.
Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
Свойства нормального распределения.
А. Если случайная величина 
.
В. Если случайная величина то
В частности, 
.
Таким образом, вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения 
. Она обладает следующими свойствами: 
С. Если 
, то для любого 
D.Правило трех сигм. Если то
Большого смысла в запоминании числа 0.0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от 
до 
.
Пример 3.7. Дана случайная величина 
. Найти 
.
Решение. По формуле свойства В при 
получаем 
По таблице для функции Лапласа находим 
.
Пример 3.8.Случайная величина X – отклонение размера изделия от нормы – нормально распределенная, причём М (Х)= 0. Найти s (Х), если известно, что Р(– 3 < X < 3) = 0.7.
Решение. Р(– 3 < X < 3) = Р( | X |< 3) = 
= 0.7. Отсюда следует, что 
, и, используя табличные данные (приложение 1), получаем 3/s =1.4, или s = 3/1.4 » 2.14.