Тема: Стійкість САК

Лекція №9

Будь-яка САК повинна забезпечити:

1) стійкість керування;

2) потрібну точність керування;

3) якість роботи, що визначається характеристиками перехідних режимів роботи.

Стійкість керування – це характеристика, яка визначає можливість практичного використання системи керування. Якщо для технічних систем визначається стан системи як справна чи несправна, несправна – значить непридатна для практичного використання, то для систем керування визначається стійка чи нестійка система керування. Нестійка система керування - це система, не придатна для практичного використання, тобто це синонім несправної системи.

Стійкість системи – це здатність системи повертатись до попереднього чи близького до нього стану після певної дії на систему.

Система стійка, якщо вона повертається до усталеного стану самостійно після припинення дії (збурення, завдання), що вивело її з цього стану. Нестійка система, після певної дії на неї, вже не повертається до попереднього стану, а відхилення від цього стану у неї збільшується. Демонструвати властивості стійкості систем прийнято на простому прикладі.

Рис. 1 – Приклади стійкої та нестійкої системи

а) стійка система; б) нестійка система; с) система на межі стійкості (стійка при малих відхиленнях і нестійка при великих)

Перший приклад, а) - демонструє стійку систему: кулька після дії на неї виходить з точки рівноваги з часом повертається в попереднє положення. Другий приклад, б) - демонструє нестійку систему, тут, якщо кулька відхиляється від положення рівноваги, то вона вже ніяк не повернеться в початковий стан. Третій приклад, в) - демонструє систему на межі стійкості. При малих відхиленнях система стійка, повертається в початковий стан, але при великих відхиленнях система нестійка.

Прикладів нестійких систем керування багато. Наприклад, відомий усьому світу реактор Чорнобильської АЕС. В якомусь з режимів роботи керування реактором виявилось нестійким. Виведений зі стану рівноваги реактор не зміг повернутись назад до такого стану і в результаті стався вибух, який призвів до найбільшої у світі ядерної катастрофи.

При навчанні водіїв автомашин перші кроки керування приводять до того, що автомашина відхиляється від дороги, потрапляє на перешкоди на узбіччі. Чому це відбувається? Тому, що характеристики системи керування незадовільні, реакція молодого водія невідповідна. Водій, коли автомашина відхиляється від потрібного напрямку руху, реагує надто сильно і повертає руль сильніше ніж це треба. Виникає ще більше відхилення від напрямку, тільки вже в інший бік. Дії молодого водія приводять до того, що автомобіль все сильніше відхиляється від напрямку руху і попадає на перешкоду і т.д. У подальшому, коли водій набуде практики, його реакція буде узгоджена із системою керування і такі випадки не трапляються.

Ознака стійкості.Розглянемо лінійну САК з вхідною величиною та вихідною яка описується диференційним рівнянням:

Потрібно визначити стійка чи нестійка дана система.

Загальний розв’язок ДР має дві складові ,

де – характеризує вільний рух системи, коли права частина диференційного рівняння дорівнює нулю (усталений режим); – характеризує вимушений рух системи, що визначається правою частиною ДР (тобто завданням і збуренням - ). (перехідний режим)

Стійка система характеризується тим, що при , якщо умова не виконується система нестійка.

Запишемо характеристичне рівняння:

Розв’язок цього рівняння має вигляд:

де – так звані «довільні» постійні які визначаються із початкових умов системи при ;

– корені ДР.

Якщо корені дійсні і від’ємні , процес буде аперіодичний – система стійка.

Якщо корені дійсні і додатні , система нестійка.

Якщо корені ДР комплексні числа , то процес коливальний.

При цьому:

Якщо , процес буде – коливальний затухаючий, тобто САК стійка.

Якщо – система нестійка, коливання будуть наростати.

Якщо – межа стійкості, коливання з постійною амплітудою.

Система стійка тоді і тільки тоді, коли всі корені характеристичного рівняння являються або дійсними від’ємними, або комплексними з від’ємною дійсною частиною. Це правило – ознаку стійкості – можна сформулювати наступним чином: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб усі корені характеристичного рівняння мали від’ємні дійсні частини.

Корисно представити геометричну інтерпретацію цієї ознаки. Позначимо корені характеристичного рівняння на комплексній площині. Наприклад, для трьох коренів характеристичного рівняння 3-го порядку.

Якщо корені мають від’ємну дійсну частину, то вони знаходяться в лівій півплощині. Тоді формулювання ознаки стійкості буде таким: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння знаходилися у лівій півплощині (3-4 квадратні) комплексної змінної.

Отже, ми розглянули не тільки ознаки стійкості, але і метод дослідження стійкості систем. Однак такий метод є доволі складним при визначені коренів характеристичного рівняння високого порядку, інколи і зовсім непридатним. Також він не повністю відображає судження про стійкість системи. При визначені коренів ми не отримуємо загальних формул за якими можна визначити вплив коефіцієнтів рівняння на стійкість системи.

Між тим є значно простіші методи які дозволяють визначити стійкість системи по так званим критеріям стійкості, взагалі не розв’язуючи характеристичного рівняння і не знаходячи його коренів. Таких критеріїв стійкості існує досить багато. Найбільш відомими і вживаними є такі критерії стійкості САК:

· Алгебраїчний критерій стійкості Рауса-Гурвіца.

· Частотний критерій стійкості Михайлова, Найквіста.

· Логарифмічний частотний критерій стійкості.

Критерій стійкості – це певна умова, яка дозволяє визначити стійкість системи, не розв’язуючи її характеристичного рівняння.

Правило Стодоли

Необхідною умовою стійкості системи повинна бути додатність коефіцієнтів характерного рівняння розімкненої системи.

;