 |
|
Частотний критерій стійкості Михайлова
Запишемо характеристичне рівняння, через характеристичний поліном (многочлен):
.
Підставимо в цей поліном 
замість 
. Отримаємо вираз:
,
де дійсна частина буде містити парні степені :
а уявна – непарні степені :
Величина 
являється комплексним числом. Зобразимо його на комплексній площині у вигляді вектора, змінюючи при цьому 
від 0 до 
, таким чином кінець вектора опише на комплексній площині деяку криву, яка називається кривою Михайлова.
Якщо результуючий кут повороту вектора , при зміні від 0 до , дорівнює 
, то система стійка. Якщо кут відрізняється від , то система нестійка. При цьому вважається доданім кутом повороту проти годинникової стрілки. Коефіцієнт 
– залежить від коефіцієнта підсилення системи. В статичних системах 
, в астатичних 
.
Зобразимо криву Михайлова для системи порядку 
і 
.
Нехай кінець вектору (рис. а) переміщається вздовж кривої від точки 
, яка відповідає 
. Тоді прирощення аргументу вектора на шляху від до 
дорівнює 
, на наступному квадранті від до 
– також , і нарешті, на тій частині кривої яка від точки прямує в нескінченність знаходиться, теж в межах . Загальний кут повороту вектора дорівнює 
. Відповідно, дана система стійка.
Рис. б – система 3-го порядку, нестійка.
Рис. в, г – система 5-го порядку, стійка.
Рис. д, е – система 5-го порядку, нестійка.
Слід зазначити, що крива Михайлова для стійких систем завжди має плавну спіралевидну форму, кінець якої прямує до нескінченності в тому квадранті комплексної площини номер якого дорівнює порядку характеристичного рівняння 
. Число квадрантів більше чим , крива Михайлова взагалі не може пройти. Притому нестійкість системи завжди пов’язана з тим, що в кривій Михайлова порушується послідовність проходження квадрантів, унаслідок чого кут повороту вектора буде меншим чим .