 |
|
Алгебраические критерии устойчивости
Основаны на выявлении требуемых алгебраических соотношений между коэффициентами характеристического полинома, гарантирующих отсутствие его правых корней. К алгебраическим относятся критерии Гурвица, Льенара-Шипара, Рауса. Наиболее распространенным является критерий Гурвица, который и рассматривается ниже.
Критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz, 1895)
Пусть имеется характеристический полином замкнутой САР
,
где n – порядок САР.
Матрица Гурвица (квадратная порядка n) имеет вид:
и составляется по следующему правилу:
На главной диагонали выписываются элементы 
, 
, …, 
. Затем при движении от этих элементов вверх записываются коэффициенты в порядке возрастания индексов, при движении вниз – в порядке убывания. Если индекс очередного записываемого коэффициента превышает n или становится отрицательным, соответствующий элемент матрицы Гурвица принимают равным нулю.
Критерий: Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при 
все определители Гурвица
, 
, 
и т.д.
были положительны, т.е. , 
, 
, …, 
.
Примечания. 1. Количество определителей равно порядку САР.
2. Последний определитель 
.
3. Если 
, то предварительно необходимо 
умножить на –1.
Случай 1. n=1
Определитель Гурвица 
.
По критерию Гурвица: , 
– система устойчива.
Тогда полюс ПФ 
будет отрицательным.
Пример 1. Определить условия устойчивости САР (рис.7.4) по критерию Гурвица.
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином: 
.
Условие устойчивости 
.
Т.е. данная САР будет устойчива при любом положительном 
, даже при 
.
Случай 2. n=2
Определители Гурвица: , 
.
По критерию Гурвица: , , 
(или 
) – система устойчива.
Таким образом, для САР 1-го и 2-го порядков необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов .
Пример 2. Определить условия устойчивости САР (рис.7.5) по критерию Гурвица
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином: 
.
Условие устойчивости 
, 
, 
.
Случай 3. n=3
Определители Гурвица: , , 
.
По критерию Гурвица: , , 
, 
.
Рассматривая эти условия в совокупности, можно получить:
, , , 
, 
.
Таким образом, для устойчивой САР 3-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического полинома были положительны и произведение средних коэффициентов было больше произведения крайних.
Примечание (Следствия из критерия Гурвица). Можно показать, что для системы любого порядка положительность коэффициентов характеристического полинома является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Пропуск хотя бы одного члена полинома (равенство соответствующего коэффициента нулю) говорит о том, что САР неустойчива.
Пример 3. Определить условия устойчивости САР (рис.7.6) по критерию Гурвица.
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином: 
.
Уже сейчас можно утверждать, что САР будет неустойчивой, поскольку отсутствует член с 
.
Действительно, определители Гурвица в этом случае равны нулю и критерий не выполняется.
Такое звено является частным случаем колебательного звена при 
и называется консервативным, используется для формирования гармонических сигналов, поскольку ее переходной функцией есть незатухающие автоколебания.
Рассмотренная САР (рис.7.6) называется структурно неустойчивой, поскольку невозможно добиться ее устойчивости только путем изменения ее параметров.
Пример 4. Определить условия устойчивости САР (рис.7.7) по критерию Гурвица
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином:
.
Условие устойчивости , , , 
,
.
Частный случай: Если 
, то из последнего условия устойчивости следует, что система будет устойчива при 
, независимо от величин постоянных времени. При 
САР будет находиться на границе устойчивости. При большем значении коэффициента ( 
) САР будет неустойчива.
Для того, чтобы повысить коэффициент усиления разомкнутой системы, сохраняя устойчивость САР, следует постоянные времени раздвинуть в значениях. Иначе говоря, граничный коэффициент усиления 
больше зависит от соотношения постоянных времени, нежели от их величины.
Например, 
, 
, 
. Из последнего условия устойчивости можно получить, что 
.