Главная | Обратная связь

Частотные критерии устойчивости

Позволяют судить об устойчивости САР по виду ее ЧХ. Наиболее распространенные – критерии Михайлова, Найквиста. Более изящным является критерий Найквиста, который используется для исследования устойчивости замкнутых САР, судя о ней по виду известной ЧХ разомкнутой системы.

Все частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента.

 

Принцип аргумента

Рассмотрим полином с действительными коэффициентами

,

имеющий n нулей, среди которых m являются правыми (имеют положительную вещественную часть), а остальные n–m – левыми.

Теорема. Приращение аргумента вектора при изменении частоты w от –¥ до +¥ равно разности между числом левых и правых нулей полинома , умноженной на p. т.е.

,

где – общее число нулей (равное порядку полинома ); – число правых нулей.

Доказательство. Разложим полином на множители:

и выполним подстановку :

.

Модуль этого вектора равен:

,

а аргумент –

. (*)

Каждый из элементарных векторов может быть изображен на комплексной плоскости в виде стрелки, выходящей из точки и приходящей в точку . Пусть – левый нуль полинома , а – правый. Их изображение на комплексной плоскости показано на рис.7.8.

Положительным направлением вращения есть вращение против часовой стрелки.

Из рис.7.8 видно, что изменяя w от –¥ до +¥, точка будет перемещаться вверх по мнимой оси, а аргумент вектора , соответствующего левому нулю, изменится от –p/2 до +p/2, т.е. на +p. Аналогично, аргумент вектора , соответствующего правому нулю, изменится от 3p/2 до p/2, т.е. на –p.

Таким образом, учитывая количество левых и правых нулей, из (*) получим:

.

Теорема доказана.

Следствие. Обычно рассматривают только положительные частоты, т.е. w изменяется от 0 до +¥. В этом случае приращение аргумента будет вдвое меньше и равно

.

Доказательствовыполняется отдельно для действительных и комплексных нулей с учетом того, что последние в общем случае образуют комплексно-сопряженные пары.

 

Предварительные физические соображения

Считаем, что САР (рис.7.9) в разомкнутом состоянии устойчива (связь, проведенная пунктиром, отсутствует).

Частотная характеристика разомкнутой САР представлена на рис.7.10 (кривая 1).

Назовем частоту, при которой фазовый сдвиг равен , граничной (w_гр).

Изменим параметры САР таким образом, чтобы частотная характеристика разомкнутой системы прошла через точку с координатами (–1; j0). В этом случае коэффициент передачи при равен 1 (вне зависимости от амплитуды гармонического сигнала, т.е. вне зависимости от наличия или отсутствия обратной связи). Система не почувствует, если входной сигнал исчезнет, и в ней установятся незатухающие колебания. Говорят, что в этом случае система находится на границе устойчивости.

Если бы частотная характеристика разомкнутой САР не охватывала точку (–1; j0), как в случае 1 (рис.7.10), то коэффициент передачи при был бы меньше единицы, и колебания с течением времени затухли бы, т.е. САР в замкнутом состоянии была бы устойчивой.

В случае же, когда частотная характеристика разомкнутой САР охватывает точку (–1; j0), как в случае 2 (рис.7.10), коэффициент передачи при больше единицы, имели бы место расходящиеся колебания (с увеличивающейся амплитудой), т.е. САР была бы неустойчивой.

На основании физических соображений можно сделать вывод: Устойчивая в разомкнутом состоянии САР будет устойчива и в замкнутом состоянии, если частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0).

 

Критерий устойчивости Найквиста (Nyqvist, 1932)

Пусть система в разомкнутом состоянии является неустойчивой. Обозначим:

– ПФ разомкнутой САР;

m – порядок неустойчивости разомкнутой САР, равный числу полюсов ПФ разомкнутой САР, находящихся в правой полуплоскости (если , то САР в разомкнутом состоянии устойчива).

Введем вспомогательную функцию:

,

где – характеристический полином разомкнутой САР;

– характеристический полином замкнутой САР.

Подставим :

.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой САР имеет l правых корней. Тогда на основании принципа аргумента изменение угла поворота вектора при изменении частоты от 0 до +¥ будет равно:

.

Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы все нули ее характеристического полинома были левыми, т.е. l=0. Тогда

.

Таким образом, если разомкнутая САР неустойчива и имеет m правых корней, то замкнутая САР будет устойчива тогда и только тогда, когда годограф вспомогательной функции при изменении частоты w от нуля до +¥ охватывает начало координат в положительном направлении m/2 раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора вокруг начала координат равно числу оборотов вектора вокруг точки с координатами (–1; j0). Отсюда и вытекает общая формулировка критерия Найквиста.

Общая формулировка критерия. Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы частотная характеристика разомкнутой САР с порядком неустойчивости m при изменении частоты w от нуля до + охватывала точку с координатами (–1; j0) в положительном направлении (при возрастании частоты) раз.

При сложной форме частотной характеристики бывает затруднительно определять число оборотов годографа вокруг критической точки (–1; j0). В этом случае удобно применять "правило переходов".

Положительным считается переход частотной характеристики через вещественную ось левее точки с координатами (–1; j0) при возрастании частоты w по направлению сверху вниз (рис.7.11). Отрицательным считается аналогичный переход, но по направлению снизу вверх (рис.7.11). Если частотная характеристика начинается или заканчивается на действительной оси левее точки с координатами (–1; j0), то говорят о ½-переходе (рис.7.11).

Формулировка, основанная на понятии переходов. Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов частотной характеристики левее точки с координатами (–1; j0) при изменении частоты w от нуля до +¥ была равна половине порядка неустойчивости разомкнутой САР m/2.

Например, замкнутая САР, имеющая в разомкнутом состоянии частотную характеристику 1 (рис.7.12), является неустойчивой, поскольку ЧХ охватывает точку с координатами (–1; j0) в отрицательном направлении, а замкнутая САР, соответствующая ЧХ 2 разомкнутой САР – устойчива, поскольку не охватывает точку с координатами (–1; j0).

 

Устойчивость астатических систем

Пусть имеется астатическая система -го порядка с ПФ разомкнутой САР

,

где – нормированная ПФ разомкнутой САР.

Частотная характеристика астатической САР

стремится к нулю при (т.е. ЧХ заканчивается в начале координат), а при будет стремиться к бесконечности при угле (рис.7.13). Это обстоятельство приводит к неоднозначности использования критерия Найквиста.

Во избежание неопределенности частотные характеристики дополняются дугами длиной бесконечно большого радиуса (рис.7.13, пунктирные линии) и после этого анализируются дополненные ЧХ:

Замкнутая САР будет устойчивой, если ЧХ разомкнутой САР раз охватывает (или, если m=0) не охватывает точку с координатами (–1; j0) (рис.7.13).

 

Применение критерия Найквиста

к логарифмическим частотным характеристикам

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) разомкнутой САР, как известно, вычисляется по формуле:

,

а логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) – по формуле

.

Из ЧХ (рис.7.14) следует, что достижению частотной характеристикой окружности радиуса 1 с центром в начале координат при определенной частоте w_С, называемой частотой среза или граничной частотой, соответствует пересечение ЛАЧХ оси частот ( ).

Переходу годографа через вещественную ось при соответствует переход ЛФЧХ через отметку (В более сложных случаях, когда ЧХ имеет вид спирали – через отметки , , , …). При этом положительному переходу соответствует переход ЛФЧХ снизу вверх, а отрицательному переходу – сверху вниз.

Поэтому на основании критерия Найквиста может быть сформулирован:

Логарифмический частотный критерий устойчивости. Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ разомкнутой САР через линию (где k = 0, 1, 2, …) при частотах, когда , была равна .

 

Запас устойчивости

Вид частотной характеристики , как мы знаем, зависит от параметров разомкнутой САР. Путем изменения параметров САР (например, изображенной на рис.7.14) можно из области устойчивости перевести ее в область неустойчивости, и наоборот. Количественные параметры (т.е. степень) изменения параметров устойчивой (функционирующей) САР, необходимые для перевода ее на границу устойчивости (когда ЧХ проходит через точку с координатами (–1; j0)) характеризуют запас устойчивости САР.

Наиболее удобно количественное выражение запаса устойчивости может быть определено с помощью логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ), причем различают запас устойчивости по амплитуде (определяемый по ЛАЧХ) и запас устойчивости по фазе (определяемый по ЛФЧХ).

Пусть имеется разомкнутая САР, логарифмические частотные характеристики которой приведены на рис.7.15.

Параметр A называется запасом устойчивости по амплитуде, определяется как отклонение ЛАЧХ от оси частот при частоте, соответствующей первому отрицательному переходу ЛФЧХ через уровень –p:

.

Предположим, что путем изменения параметров САР (путем увеличения коэффициента передачи) ее ЛАЧХ поднялась на величину A, и пусть при этом ЛФЧХ осталась без изменения. В этом случае САР находится на границе устойчивости.

Параметр y называется запасом устойчивости по фазе, определяется как отклонение ЛФЧХ от уровня –p при значении частоты w, равном частоте среза w_С:

.

Предположим, что также путем изменения параметров САР (путем установки фильтра с коэффициентом передачи, равном 1) ее ЛФЧХ опустилась на угол y, а ЛАЧХ осталась без изменения. И теперь САР находится на границе устойчивости.

В реальных САР в процессе работы под действием внешних факторов их параметры изменяются. При этом изменяются их ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Для того, чтобы обеспечить нормальную (устойчивую) работу САР, обычно необходимо обеспечить запас устойчивости по амплитуде

дБ

и запас устойчивости по фазе

.

При невыполнении этих условий в процессе работы системы имеется большая вероятность того, что она окажется неустойчивой.

 

Пример 1. Исследовать на устойчивость САР, структурная схема которой представлена на рис.7.16.

Решение с помощью критерия устойчивости Гурвица.

ПФ разомкнутой САР:

.

Характеристический полином замкнутой САР:

,

т.е. 0,1 , 1,1, , .

Составляем матрицу Гурвица:

.

Находим определители:

; – САР неустойчива.

Решение с помощью логарифмического частотного критерия.

Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР (рис.7.17). Имеем один отрицательный переход ЛФЧХ через уровень –p, а положительные переходы отсутствуют, т.е. разность между числом положительных и отрицательных переходов равна –1. Характеристический полином разомкнутой САР не имеет правых корней. Таким образом, логарифмический критерий не выполняется: 0 ¹ –1.

Кроме того, из ЛАЧХ и ЛФЧХ также видно, что САР имеет отрицательный запас устойчивости как по амплитуде, так и по фазе. Уже по этому мог бы быть сделан вывод о неустойчивости замкнутой САР.

 

 

Пример 2. Исследовать на устойчивость САР, структурная схема которой представлена на рис.7.18, с помощью логарифмического частотного критерия устойчивости.

Решение. Преобразовав структурную схему путем свертки внутреннего замкнутого контура, запишем ПФ разомкнутой САР:

.

Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР (рис.7.19).

Очевидно, ЛФЧХ при частотах, меньших частоты среза, не пересекает уровень –p. Характеристический полином разомкнутой САР не имеет правых корней. Поэтому критерий устойчивости выполняется – замкнутая САР устойчива.

Отметим, что САР будет иметь недостаточный запас устойчивости по фазе.