ДІЙСНИЙ ЕВКЛІДОВИЙ ПРОСТІРСтр 1 из 3Следующая ⇒
Лінійний простір над полем дійсних чисел називається дійсним евклідовим простором, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто будь-якій парі векторів і простору ставиться у відповідність дійсне число . При цьому для будь-яких векторів простору повинні виконуватися умови (аксіоми). 1. = 2. 3. , – число 4. , лише при . Розглянемо приклади евклідових просторів. 1. Векторний простір направлених відрізків над полем дійсних чисел, в якому введений таким чином скалярний добуток двох довільних векторів і = , , ( – кут між і ), =0, якщо = або = , є дійсним евклідовим простором, оскільки виконуються всі аксіоми скалярного добутку. 2. Нехай С – множина всіх неперервних на відрізку дійсних функцій. Ця множина є лінійним простором над полем дійсних чисел. Простір стане евклідовим, якщо кожній парі функцій і із множини С поставити у відповідність число = . Всі вимоги, що пред'являються до скалярного добутку, виконуються. Теорема 1.1. Для будь-яких двох векторів і дійсного евклідового простору (нерівність Коші-Буняковского). Лінійний простір називається нормованим, якщо кожному вектору цього простору поставлено у відповідність число , яке називається нормою вектору або його довжиною. При цьому повинні виконуватися умови (аксіоми норми) 1. , причому , лише коли ; 2. – нерівність трикутника; 3. для любого числа . Всякий евклідовий простір можна вважати нормованим, якщо кожному вектору простору поставити у відповідність число . Щоб переконатися в цьому, потрібно перевірити виконання всіх аксіом норми. Перша і третя аксіоми норми виконуються, оскільки по першій властивості скалярного добутку , причому лише при , тобто , лише коли , а по третій властивості , тобто . Аксіома трикутника також виконується. Дійсно, . Згідно нерівності Коші – Буняковского . Отже, . По аналогії з випадком тривимірного простору направлених відрізків введемо поняття кута між двома векторами евклідового простору. Під кутом між яким – небудь ненульовими векторами і простору розуміється таке число , що , , . Це визначення коректне, оскільки згідно з нерівністю Коші – Буняковского , тому дріб, що визначає значення по модулю менше одиниці. Отже, які б не були ненульові вектори і евклідового простору, існує єдине число , що визначає кут між векторами і . Приклад. Нехай – евклідовий простір, елементами якого є дійсні функції, неперервні на відрізку . Скалярний добуток двох довільних елементів и простору визначимо відомим способом . Потрібно знайти кут між елементами и . Розв’язання: Згідно з визначенням скалярного добутку . На основі формули , , , отже, кут між елементами і простору дорівнює . Два вектори і евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток . Суму + двох ортогональних векторів і називатимемо гіпотенузою прямокутного трикутника і . Теорема Піфагора. Квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|