ДІЙСНИЙ ЕВКЛІДОВИЙ ПРОСТІР
Лінійний простір над полем дійсних чисел називається дійсним евклідовим простором, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто будь-якій парі векторів
і
простору ставиться у відповідність дійсне число
. При цьому для будь-яких векторів простору повинні виконуватися умови (аксіоми).
1.
= 
2. 
3.
,
– число
4.
, лише при
.
Розглянемо приклади евклідових просторів.
1. Векторний простір направлених відрізків над полем дійсних чисел, в якому введений таким чином скалярний добуток двох довільних векторів
і 
=
,
,
(
– кут між
і
), 
=0, якщо
=
або
=
,
є дійсним евклідовим простором, оскільки виконуються всі аксіоми скалярного добутку.
2. Нехай С
– множина всіх неперервних на відрізку
дійсних функцій. Ця множина є лінійним простором над полем дійсних чисел. Простір стане евклідовим, якщо кожній парі функцій
і
із множини С поставити у відповідність число
=
.
Всі вимоги, що пред'являються до скалярного добутку, виконуються.
Теорема 1.1. Для будь-яких двох векторів
і
дійсного евклідового простору
(нерівність Коші-Буняковского).
Лінійний простір називається нормованим, якщо кожному вектору
цього простору поставлено у відповідність число
, яке називається нормою вектору або його довжиною. При цьому повинні виконуватися умови (аксіоми норми)
1.
, причому
, лише коли
;
2.
– нерівність трикутника;
3.
для любого числа
.
Всякий евклідовий простір можна вважати нормованим, якщо кожному вектору
простору поставити у відповідність число
. Щоб переконатися в цьому, потрібно перевірити виконання всіх аксіом норми. Перша і третя аксіоми норми виконуються, оскільки по першій властивості скалярного добутку
, причому
лише при
, тобто
, лише коли
, а по третій властивості
, тобто
. Аксіома трикутника також виконується. Дійсно,
. Згідно нерівності Коші – Буняковского
. Отже,
.
По аналогії з випадком тривимірного простору направлених відрізків введемо поняття кута між двома векторами евклідового простору. Під кутом між яким – небудь ненульовими векторами
і
простору розуміється таке число
, що
,
,
.
Це визначення коректне, оскільки згідно з нерівністю Коші – Буняковского
, тому дріб, що визначає значення
по модулю менше одиниці. Отже, які б не були ненульові вектори
і
евклідового простору, існує єдине число
, що визначає кут між векторами
і
.
Приклад. Нехай
– евклідовий простір, елементами якого є дійсні функції, неперервні на відрізку
. Скалярний добуток двох довільних елементів
и
простору
визначимо відомим способом
.
Потрібно знайти кут між елементами
и
.
Розв’язання:
Згідно з визначенням скалярного добутку
.
На основі формули
,
,
, отже, кут між елементами
і
простору
дорівнює
.
Два вектори
і
евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток
. Суму
+
двох ортогональних векторів і називатимемо гіпотенузою прямокутного трикутника
і
.
Теорема Піфагора. Квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.