 |
|
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудуйте ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів: 
, 
, 
.
Розв’язання:
~ 
~ 
~ 
.
, 
– кількість векторів, 3= 
вектори лінійно незалежні
Нехай 
, тоді 
.
Провіримо ортогональність:
;
;
;
; 
; 
;
;
;
;
.
2. Знайдіть ортогональну проекцію 
і ортогональну складову 
вектора 
на лінійний простір 
= 
.
Розв’язання:
~ 
~ 
= 
Будемо шукати ортогональну проекцію вектора 
на у вигляді:
Так як – ортогональна складова, то = + = 
Оскільки 
:
3. Знайти базис ортогонального доповнення 
підпростору , натягнутого на вектори 
, 
, 
Розв’язання
Складаємо матрицю, для перевірки лінійної залежності векторів
Rang A = 2
Запишемо вектор 
Провіряємо ортогональність 
і 
Знайдемо фундаментальну систему рішень
Запишемо систему
Виражаємо змінні
Складаємо таблицю
| 
| 
| 
|
| -1 | ||
| -1 | -1 |
Із таблиці слідує, що 
і 
. Отже, 
.
4. Доведіть, що 
.
Розв’язання:
Для того, щоб довести нерівність необхідно перевірити аксіоми скалярного добутку.
аксіома виконується, так як скалярний добуток являється дійсним
. Аксіома тотожності виконується.
Аксіоми скалярного добутку виконуються.
5. Нехай дано два вектори 
. Знайдіть довжини векторів 
, якщо
А) 
задано 
Розв’язання:
Довжина вектора визначається за формулою 
.
Знайдемо 
Б) 
Обчислимо 
6. Знайдіть норму вектора 
.
Розв’язання:
Для того, щоб знормувати вектор, потрібно знайти його довжину , а потім використати формулу 
Завдання для самостійного розвязування
ВАРІАНТ 1
1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудувати ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів
, 
, 
.
Відповідь: 
, 
2. Знайти ортогональну проекцію і ортогональну складову вектора на лінійний простір .
= 
Відповідь: 
, 
.
3. Знайти ортогональний базис ортогонального доповнення , якщо = 
і 
, 
, 
Відповідь: 
і 
. .
4. Довести, що 
5. Знайти довжини векторів , якщо задано 
, якщо 
, 
.
Відповідь: 
, 
, 
6. Знормувати вектор 
.
Відповідь: 
ВАРІАНТ 2
1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудувати ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів
, 
, 
.
Відповідь: 
, 
, 
2. Знайти ортогональну проекцію і ортогональну складову вектора на лінійний простір .
= 
Відповідь: 
, 
.
3. Знайти ортогональний базис ортогонального доповнення , якщо = і 
, 
,
Відповідь: 
і 
. .
4. Довести, що 
5. Знайти довжини векторів , якщо задано 
, якщо 
, 
.
Відповідь: 
, 
, 
6. Знормувати вектор 
.
Відповідь: 