Главная | Обратная связь

ОРТОНОРМОВАНИЙ БАЗИС В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ

В евклідовому просторі вектор називається нормованим, якщо його довжина рівна одиниці.

Припустимо, що в – мірному евклідовому просторі існують попарно ортогональних векторів, що мають одиничні норми, тобто при . Покажемо, що ці векторів утворюють базис – мірного простору (ортонормований базис). Для цього потрібно довести, що вектори …, лінійно незалежні. Припустимо, що , де – деякі доки невідомі дійсні числа. Помножимо обидві частини цієї рівності скалярно на вектор , отримаємо . Так як , , то число =0. Аналогічним чином встановлюється, що . Отже, рівність можливо лише, коли , а це значить, що вектори …, лінійно незалежні.

Покажемо тепер, що ортонормовані базиси існують в евклідовому просторі. Нехай який –небудь базис – мірного евклидового простору. Побудуємо за допомогою цього базису ортонормований базис простору. Покладемо . Із векторів і утворюємо вектор . Число візьмемо таким, щоб . Маємо . Звідси, , а . Покладемо . Одиничний вектор ортогональний вектору . Побудуємо тепер допоміжний вектор . Підберемо числа і так, щоб . Для визначення цих двох чисел маємо рівняння . Слідує, , а Одиничний вектор , очевидно, ортогональний одиничним векторам і .

Продовжуючи процес створення попарно ортогональних одиничних векторів ,… (процес ортогоналізації), побудуємо за кінцеве число кроків ортонормований базис – мірного евклідового простору:

,

, ,

, ,

…

, .

Відмітимо, що різних ортонормованих базисів евклідового простору нескінченно багато, оскільки нескінченно багато базисів , з якого процесом ортогоналізації можна створювати ортонормовані базиси.

Нехай – який-небудь ортонормований базис евклідового простору, а и – два довільно взятих вектора цього простору. Представимо кожен з векторів у вигляді лінійної комбінації базисних . Найдемо , вважаючи відомими координати векторів і в ортонормованому базисі. Маємо . Тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат в ортонормованому базисі.