Поняття похибки наближення
Абсолютна та відносна похибки Нехай – точне, але, як правило, невідоме значення деякої величини, а – її відоме наближене значення (наближення). У цьому випадку пишуть . Означення. Абсолютною похибкою деякого числа називається абсолютна величина різниці між його істинним значенням і наближеним значенням, отриманим в результаті обчислення або вимірювання. Позначається . . Означення. Відносною похибкою деякого числа називається відношення його абсолютної похибки до модуля наближеного значення . Позначається . . Зауваження. В загальному випадку має розмірність величини , а – безрозмірна величина. Часто обчислюється в процентах, тоді вона множиться на 100%. Оскільки істинне значення величини звичайно невідоме, то наведені вирази для похибок практично не можуть бути використані. Є лише наближене значення і для нього вводиться поняття граничної похибки. Означення. Граничною абсолютною похибкою наближення називається число , яке не менше абсолютної похибки, тобто (1) Розкриваючи в останній нерівності модуль, отримаємо відрізок, який містить точне значення : . Граничною відносною похибкою наближення називається відношення граничної абсолютної похибки до модуля числа : (2) Звідси випливає наступне співвідношення, яке часто застосовується на практиці: . Далі розглядатимемо тільки граничні абсолютну і відносну похибки, для скорочення опускаючи слово "гранична". Також для спрощення запису покладемо ; . Приклад 1. Знайти абсолютну і відносну похибки числа , заданого а) двома; б) трьома цифрами після коми. Розв’язання. а) Нехай . Тоді за формулою (1) : ; за формулою (2): : . б) Нехай . Тоді за формулою (1) : ; за формулою (2): : .
Машинний епсілон
Оцінимо величину похибки подання дійсного числа в машинній системі числення. Два найближчих машинних числа можуть бути представлені у вигляді: ; . Абсолютна «відстань» між ними дорівнює: , а відносна «відстань» визначається виразом: Звідси ясно, що похибка подання будь-якого дійсного числа , такого, що , задовольняє нерівності: (3) де – машинне подання дійсного числа . Права частина нерівності (3) називається машинним епсилоном і позначається . Машинний епсилон – найважливіший параметр обчислювальної системи. Він характеризує відносну помилку подання дійсних чисел в пам'яті комп'ютера у формі з плаваючою комою. Отримані вирази дають підставу стверджувати, що будь-яке число в інтервалі у машинному поданні не буде відрізнятися від 1. Звідси випливає простий алгоритм обчислення машинного епсилона: Крок 1. ; Крок 2. Якщо, то ; Крок 3. .
6. Число вірних значущих цифрнаближеного числа. Правила округлення Наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі, якщо в записі цих чисел всі значущі цифри вірні. Нагадаємо означення цих понять. Запишемо додатне число у вигляді скінченного десяткового дробу: , або , де всі коефіцієнти і менші за число 10. Означення. Значущими цифрами наближеного числа називаються всі цифри в його записі, починаючи з першої ненульової зліва. Приклад 2. Виділити значущі цифри наступних чисел: 1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005. Розв’язання. Виділимо значущі цифри підкреслюванням. За означенням: 1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.
Означення.Перші значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перебільшує половини одиниці розряду, який відповідає -й значущій цифрі, тобто . Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумнівними. Обчислити наближене число з точністю означає, що необхідно зберегти вірною значущу цифру, яка стоїть в -му розряді після коми. На практиці при виконанні обчислень часто виникає потреба в округленні наближеного числа. Означення. Округленням наближеного числа називається заміна його числом з меншою кількістю значущих цифр. Для округлення числа до значущих цифр треба відкинути всі його цифри, які стоять справа від -ї значущої цифри. При цьому користуються наступними правилами:
Правила округлення: 1. Якщо перша з відкинутих цифр менше 5, то десяткові знаки, які залишилися, зберігаються без змін. 2. Якщо перша з відкинутих цифр більше 5 або дорівнює 5 і серед інших відкинутих цифр є ненульові, то до останньої цифри, що залишилася, додається одиниця. 3. Якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5 і інші відкинуті цифри є нульовими, то остання цифри, що залишилася, не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.
Приклад 3. Округлити число до семи, шести, п’яти і т.д. десяткових знаків і до одиниць. Розв’язання. За правилом округлення: (за правилом 3); (за правилом 2); (за правилом 2); (за правилом 1); (за правилом 2); (за правилом 2); (за правилом 1); (за правилом 2).
Абсолютна і відносна похибки записуються у вигляді чисел з одною або двома значущими цифрами, і вони округлюються з надлишком. В записі наближених чисел вони вказуються так: ; Так, для числа з прикладу 1б) ; .
Приклад 4. Виділити вірні значущі цифри наступних чисел: 1) ; ; 2) ; ; 3) ; . Розв’язання. Виділимо вірні значущі цифри підкреслюванням. 1) , оскільки ; 2) , оскільки ; 3) , оскільки .
Похибки округлення в ЕОМ числа , які обумовлені скінченністю розрядної сітки, для різних комп’ютерів можуть бути обчислені за формулою: , де – перша значуща (відмінна від нуля) цифра; – основа системи числення, що використовується в комп’ютері; – розрядність комп’ютера ( для стандартної точності і для подвійної точності – для ЕОМ типу IBM). Приклад. Користуючись розкладом , обчислити величину з вірними цифрами після коми. ( – номер варіанта)
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|