Критерий Коши сходимости числового ряда
Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого ε >0 найдётся такое натуральное число N , что для всех n ≥ N и любого натурального k выполняется неравенство: n + k ∑ as s = n +1 = an +1 + an + 2 + + an + k < ε . Отсюда сразу получается необходимый признак сходимо- сти ряда: общий член an сходящегося ряда должен стремиться к нулю: lim an n→∞ = 0 . Если же общий член ряда не стремится к нулю при n → ∞ , то ряд расходится.
Если в ряде ∞ a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑an n =1
отбросить первые n членов ряда, то получится ряд ∞ an +1 + an + 2 + + = ∑ as , который называется остатком ряда s = n +1 и обозначается Rn . Рассмотрим вопрос об установлении сходимости или рас- ходимости числовых рядов, члены которых неотрицательны, для краткости такие ряды называются положительными. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда по- следовательность его частичных сумм ограничена сверху.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Признаки сравнения Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путём сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. ∞ 1. Пусть даны два положительных ряда ∑an n =1 ∞ и ∑ bn . n =1 Если существует натуральное число N , такое, что неравенство ∞ an ≤ bn выполнено для всех
∞ n ≥ N , то из сходимости ряда ∑bn n =1 ∞ следует сходимость ряда ∑ an , а из расходимости ряда ∑an n =1 ∞ следует расходимость ряда ∑ bn . n =1
2. Если существует конечный предел
∞
lim an n→∞ bn n =1
= K , то из сходимости ряда ∑ bn , при n =1 ∞ K ≤ ∞ следует сходимость ряда
∞ ∑ an , а из расходимости ряда ∑bn следует расходимость ря- n =1 ∞ n =1 да ∑ an . n =1 Таким образом, при 0 < дятся одновременно. K < ∞ , оба ряда сходятся или расхо- 3. Если существует натуральное число N , такое, что не-
равенство an ≤an+1 bn bn+1 ∞
выполняется для всех
n ≥ N , то из сходи-
∞ мости ряда ∑ bn следует сходимость ряда ∑ an , а из расходи- n =1 ∞ n =1 ∞ мости ряда ∑an n =1 следует расходимость ряда ∑ bn . n =1
Предельный признак Д`Аламбера
Если последовательность an , построенная из членов bn ∞ a ряда ∑ an , (an. > 0) имеет предел,
→∞ b = p , то при p <1 ряд n =1 ∞ lim n n n ∞ ∑ an n =1 сходится, а при p >1 ряд ∑an n =1 расходится. При p =1 предельный признак Д`Аламбера не даёт ответа на вопрос, схо- дится данный ряд или расходится.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|