Предельный признак Коши
∞ Если lim n an n→∞
∞ = q , то при q <1 ряд ∑an n =1 сходится, а при q >1 ряд ∑an n =1 расходится. При q =1 предельный признак Ко- ши не даёт ответа на вопрос, сходится данный ряд или расхо- дится. Интегральный признак Маклорена―Коши ∞ ∞ Пусть дан ряд вида ∑ an ≡ ∑ f (n) , где f (n) ― значение
некоторой функции n =1 f (x) , при n =1 x = n , определённой при
x ≥ n0 . Если f (x) ∞ положительная и монотонно убывающая функция, то ряд ∑ an сходится тогда и только тогда, когда сходится не- n =1 ∞ собственный интеграл ∫ n0
f (x) dx . Ряды с произвольными членами Ряд называется знакочередующимся, если его члены яв- ляются поочерёдно положительными и отрицательными. Такой ряд записывается в виде: ∞ n +1
n =1 an = a1 – a2 + a3 + + (− 1)n −1 a + , где an > 0 для любого n . Для исследования знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно не возрастают: an +1 ≤ an , ∀ n ∈ N
дится. и lim an n→∞ = 0 , то знакочередующийся ряд схо-
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов ∞ Ряд ∑ an называется абсолютно сходящимся, если схо- n =1 ∞ дится ряд ∑ n =1 an , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда. ∞ Ряд ∑ an называется условно сходящимся, если он схо- n =1 ∞ дится, а ряд ∑an n =1
расходится. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и в обыч- ∞ ном смысле, то есть из сходимости ряда ∑an n =1 следует сходи- ∞ мость ряда ∑ an . n =1 Таким образом, чтобы исследовать сходимость знакочередую- ∞ щегося ряда, прежде всего исследуют сходимость ряда ∑ an с n =1 помощью признаков, приведённых выше. Если сходится ряд ∞ ∞ ∞ ∑ an , то сходится и ряд ∑ an . Если ряд ∑ an , расходится, n =1 n =1 ∞ n =1 то о сходимости ряда ∑ an ничего сказать нельзя. n =1
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|