Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
Степенные ряды во многом сходны с многочленами, и это делает их удобным средством для приближённых вычислений. В связи с этим очень важен вопрос о возможности разложения заданной функции по степеням (x − x0 ) , в частности, по степе- ням x , то есть представления её в виде суммы рядов
∑ an (y − y0 ) ∞ или ∑an =0
xn . n Предположим, что функция f (x) в некоторой окрестно- сти точки x0 дифференцируема любое число раз. Тогда для всех x , удовлетворяющих условию Тейлора: x − x0 < r , имеет место формула f (x) = f (x ) + f ′ (x0 ) (x − x ) + f ′ (x0 ) (x − x )2 + 0 1! 0 2 ! 0 f (n) (x ) n
(x − x0) n ! + rn (x), где rn (x) остаточный член в формуле Тейлора. При этом n мо- жет быть сколь угодно большим, то есть это разложение можно доводить до сколь угодно высоких степеней (x − x0 ) . Это, естественно, приводит к мысли о бесконечном раз- ложении:
f (x) =
f (x ) + f ′ (x0 ) (x − x ) + f ′ (x0 ) (x − x )2 + 0 1! f (n) (x ) n 0 2 ! 0
(x − x0) n ! + = ∑ n =0 (x − x0 ) . n ! Такой ряд, независимо от того, сходится ли он и имеет ли на самом деле своей суммой f (x) , называется рядом Тейлора для функции f (x) . Его коэффициенты: f ′ (x0 ) f ′(x0 ) ( n ) f (x0 ) a0 = f (x0 ) , a1 = 1! , a2 = 2 ! , …, an = n ! , … носят название коэффициентов Тейлора. Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда
x0 = 0, и f (x) разлагается в ряд по степеням x :
f (x) =
f (x0 ) + f ′ (x0 ) x+ 1! f ′ (x0 ) x2 + + 2 ! f (n) n (x0 ) !
xn + . Этот ряд обычно называют рядом Маклорена. Перейдём к конкретным разложениям функций в ряд Ма- клорена: x x2 xn ∞ xn
1! 2 ! n ! n !
x3 x5 n =0
n −1
x2n −1
∞ (− 1)n
x2n +1 sin x = x − + + 3 ! 5 ! + (− 1) (2n − 1)! + = ∑ n =0 (2n + 1)! ; x2 x4 2n ∞
(− 1)n x2n
2 ! 4 ! 2n + = ∑
(2n)! . Все эти разложения справедливы для ∀ x ∈ (− ∞; + ∞).
− ... + (−1)n−1 x2n−1
+ ... = 3 5 2n −1
∞ = ∑ n =1 (− 1)n −1 x2n −1 (2n − 1) ;
x ∈ [− 1; 1].
3 n
∞ n −1 n ln (1 + x) = x − x + x − ...(− 1)n −1 x 3 n + ... = ∑ (− 1) n =1 x ; x ∈ (− 1; 1]. n (1 + x)m = 1 + m x + m (m − 1) x2 + ... + m (m − 1)...(m − n + 1) xn + ... ; 2 ! n ! x ∈ (− 1; 1) . Здесь m – любое действительное число ( m ≠ 0 , m отличное от всех натуральных чисел, так как при натуральном значении m получается известное конечное разложение по формуле Ньюто- на). Этот ряд называют биномиальным рядом, а его коэффици- енты называются биномиальными коэффициентами.
Ряды Фурье В науке и технике приходится иметь дело с периодиче- скими явлениями, то есть с явлениями, которые воспроизводят- ся в прежнем виде через определённый промежуток времени T , называемый периодом (работа двигателя внутреннего сгорания, переменный ток и т. д.). Различные величины, связанные с рас- сматриваемым периодическим явлением, по истечении периода T возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции, характеризуемые ра- венством φ (x + T ) = φ (x). Простейшей из периодических функций, удовлетворяю- щих этому условию, является функция A sin (ωt + α), где A , α – постоянные; ω ― частота, связанная с периодом T соотношени- ем ω = 2π . T Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие си- нусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты не даёт ничего нового. Если же сложить несколько величин вида: y0 = A0 , y1 = A1 sin (ωt + α1 ), y2 = A2 sin (2ωt + α2 ) , y3 = A3 sin (3ωt + α3 )... с частотами ω, 2ω, 3ω и периодами T , T 2, T 3 , то получится периодическая функция с периодом T , но уже существенно отличная от величин y0 = A0 , y1 = A1 sin (ωt + α1 ), y2 = A2 sin (2ωt + α2 ), y3 = A3 sin (3ωt + α3 )... Можно ли данную периодическую функцию f (x) пред- ставить в виде суммы конечного или бесконечного множества величин вида y0 = A0 , y1 = A1 sin (ωt + α1 ), y2 = A2 sin (2ωt + α2 ), y3 = A3 sin (3ωt + α3 )... ? Для того, чтобы установить возможность тригонометри- ческого разложения для заданной функции f (x) с периодом 2π , в ряд по тригонометрическим функциям вида ∞
2 n =1
cos nx + bn sin nx), нужно исходить из опреде-
a0 , a1,b0 ,b1,..., an ,bn ,.... Приведём
− π f (x) cos nx dx , (n = 0, 1, 2, ...); 1 π
− π
f (x) sin nx dx , (n = 1, 2, 3 ...) .
∞
Ряд вида f (x) = a0 + ∑(a
cos nx + bn sin nx)
называется
рядом Фурье для функции f (x) ; an , bn коэффициентами Фурье функции f (x) . Теорема Дирихле Пусть f (x) удовлетворяет в интервале (− π; π) так назы- ваемым условием Дирихле: а) интервал (− π; π) тервалов, в которых можно разбить на конечное число ин- f (x) непрерывна и монотонна; б) если x0 является точкой разрыва функции f (x) , то суще- ствуют односторонние пределы f (x0 + 0) и f (x0 − 0). Тогда ряд Фурье функции равенство: f (x) сходится, и имеет место a k
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx) = k →∞ 2 f(x), n =1 если f (x) непрерывна; = f (x + 0) + f (x − 0) , если f (x) разрывна. 2 Если представить функцию
f (x)
периодически продол- женной с периодом 2 π на всю числовую ось, то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех x . Если раскладываемая в ряд Фурье функция имеет период 2 l , то рассматривают интервал (− l; l ). При этом коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам: l
−l 1 l f (x) cos nπx l
nπx dx , (n = 0, 1, 2, ...); bn = ∫ f (x) sin
dx , (n = 1, 2, 3, ...). Ряд Фурье функции f (x) имеет вид: a ∞ nπx nπx
n =1 cos l + bn sin . l
Если f (x) в интервале (− π; π) ― чётная функция, то есть выполняется равенство находятся по формулам: 2 π f (− x) = f (x) , то коэффициенты Фурье
f (x) cos nx dx , ( n = 0, 1, 2, .... ); bn = 0. При этом ряд Фурье функции ∞
f (x) имеет вид:
2 n =1
cos nx . Если f (x) нечётная функция, то есть выполняется равен- ство f (− x) = − f (x) , то коэффициенты Фурье находятся по формулам: an = 0 ; 2 π
f (x) sin nx dx . При этом ряд Фурье для функции ∞ f (x) = ∑ bn sin nx . n =1 Разложение на интервале (0; π) . f (x) имеет вид: Если функция f (x) задана на интервале (0; π) и удовле- творяет условиям теоремы Дирихле, то её можно разложить в ∞
ряд по косинусам вида f (x) = a0 + ∑a
cos n x
или в ряд по
∞ синусам вида f (x) = ∑ bn sin n x . Оба ряда в интервале (0; π) n=1 дают значение функции f (x) в точках непрерывности функции
и величину f (x + 0) + f (x − 0) 2
в точках разрыва функции f (x) . Однако вне промежутка (0; π) эти разложения описыва- ют разные функции. Ряд по косинусам даёт такую функцию, которая получается из функции f (x) путём чётного продолже- ния на соседний интервал (− π; 0) и периодического продолже- ния с периодом 2π вне этого интервала (− π; π). Ряд по синусам даёт такую функцию, которая получается из f (x) путём нечёт- ного продолжения на интервал (− π; 0) и периодического про- должения с периодом 2π вне интервала (− π; π). Если f (x) задана на интервале (0; l ), то формулы для вы- числения коэффициентов записываются в следующем виде: l a = 2 ∫ f (x) cos nπx
dx ; b = 0 .
2 l nπx an = 0 , bn = l ∫ f (x) sin
dx . Тогда ряд Фурье принимает вид: ∞ f (x) = a0 + ∑a
nπx , или 2 n =1 ∞ f (x) = ∑ bn n =1 sin nπx . l
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|