Главная | Обратная связь

Признак сравнения 2 (предельный)

Сгупс

Кафедра высшей математики

Методические указания к выполнению типового расчета

«Ряды».

Новосибирск

Некоторые теоретические сведения.

Числовые ряды.

 

Пусть u₁; u₂; u₃; …; u_n; …есть бесконечная числовая последовательность.

Определение. Числовым рядом называется выражение

.

Числа u₁; u₂; u₃; …; u_n; … называются членами числового ряда, а
– общим членом ряда.

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной
суммой ряда и обозначается S_n , то есть

S_n= .

В частности: S₁=u₁, S₂=u₁+u₂, S₃=u₁+u₂+u₃ и т.д. Частичные суммы ряда образуют числовую последовательность .

Определение. Суммой S числового ряда называют предел последовательности его частичных сумм при неограниченном увеличении номера часичных сумм

.

 

Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму (в этом случае существует конечный предел последовательности частичых сумм ряда) и расходящимся, если такая не существует ( не существует). Если числовой ряд сходится, то, естественно он имеет сумму.

Необходимый признак сходимости

Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена обязательно равен нулю, то есть .

Приведенный признак сходимости следует понимать так:

Если , то ряд расходится точно, но,

если , то ряд может сходиться, но может и расходиться.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Признак сравнения 1

Пусть даны два знакоположительных ряда

= (1)

(2)

причем члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2) по крайней мере, начиная с некоторого номера n=N, то есть для всех .

Тогда:

из сходимости ряда (2) всегда следует сходимость и ряда (1),

из расходимости ряда (1) всегда следует и расхоимость ряда (2).

 

Признак сравнения 2 (предельный)

Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения , то оба ряда (1) и (2) одновременно либо сходятся, либо расходятся.

При применении признака сравнения данный ряд сопоставляется с одним из, так называемых, эталонных рядов, сходимость или расходимость которых установлена.

Эталонные ряды

1) Геометрический ряд : 2) Обобщенный гармонический ряд : В частности, при k=1 получаем 3) Гармонический ряд =1+ - расходится.

 

Признак Даламбера

Если в числовом знакоположительном ряде существует предел отношения последующего члена ряда u_n+1 к предыдущему u_n при , равный числу p:

 

, то