Тема 4.3 Взаємне розміщення двох прямих

1. Умова перпендикулярності прямих

Якщо прямі A₁x +B₁y +C=0 (L₁) i A₂x + B₂y + C=0 (L₂) перпендикулярні (L₁L₂), то їх нормальні вектори і також перпендикулярні, а це значить, що скалярний добуток їх дорівнює 0:

або А₁А₂+ В₁В₂= 0.

Дві прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при змінних зв’язані рівністю

A₁A₂ + B₁B₂=0, або коли кутові коефіцієнти цих прямих обернені за модулем і протилежні за знаком .А₁А₂+В₁В₂=0 або m₁m₂+n₁n₂=0 або 1+k₁k₂=0.

2. Умова паралельності двох прямих.

Нехай на площині задані дві прямі:

A₁x + B₁y + C = 0 (L₁) i A₂x + B₂y + C₂=0 (L₂)

Нехай L₁║L₂ , тоді їх нормальні вектори i колінеарні, тому їх відповідні координати пропорціональні, тобто .

Умови паралельності двох прямих:

або або .

Умова, коли прямі співпадають:

.

3. Кут між двома прямими.

Якщо прямі задані загальними рівняннями А₁х + В₁у + С₁=0, А₂х + В₂х + С₂=0 , тоді

соsθ = ;

якщо прямі задані канонічними рівняннями, тоді ;

якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами, тоді .

4. Відстань від точки до прямої.

Нехай xcosα + ysinα – p = 0 – нормальне рівняння прямої, М₀(х₀,у₀) - задана точка, d – шукана відстань від точки до прямої. Тоді . Якщо пряма задана загальним рівнянням, то .

Тема 4.4 Рівняння площини. Взаємне розміщення площин

Загальне рівняння площини має вигляд:

Ax + By + Cz + D=0.

1 Рівняння площини, яка проходить через триточки

Нехай площина задана трьома своїми точками , які не лежать на одній прямій. Якщо М(x,y,z) - довільна точка площини, то вектори , , - компланарні і тому їх мішаний добуток дорівнює нулю: ( , , )=0, або в координатній формі

.

Відстань від точки до площини

Нехай Ax + By + Cz + D=0 – рівняння площини, - задана точка, d – відстань точки М₀від площини. Тоді .

Кут між двома площинами

Нехай дві площини задано загальними рівняннями і . Двогранний кут θ між двома площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює кутові між нормальними векторами і цих площин. Тому .

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56