ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Простейшим видом колебательного движения является гармоническое, которое совершается по закону синуса или косинуса. Оно возникает в том случае, если на тело, выведенное из положения равновесия, непрерывно действует сила, направленная всегда к положению равновесия, а по величине пропорциональная смещению этого тела от положения равновесия.
Если колебательное движение происходит в какой-либо внешней среде, то эта среда оказывает сопротивление движению, стремясь замедлить его. Такой процесс движения можно описать, если ввести дополнительную силу, появляющуюся в результате самого движения и направленную противоположно ему. Такой силой является сила трения. Рассмотрим такое колебательное движение шарика, подвешенного на упругой пружине (рис.1). После отклонения шарика от положения равновесия он будет совершать гармонические колебания. Если деформация пружины невелика, то можно считать справедливым закон Гука и записать выражение для возвращающей в равновесие шарик силы F в виде: где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругих свойств пружины, x – смещение относительного положения равновесия. Знак минус показывает, что сила направлена к положению равновесия, т.е. имеет знак, обратный знаку x. Под влиянием этой силы предоставленный самому себе шарик начнет двигаться, приобретая скорость где r – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления (коэффициент трения). Если масса шарика невелика (это дает возможность пренебречь силой тяжести по сравнению с возникающими упругими силами), то второй закон Ньютона будет иметь вид: После преобразований Здесь
Уравнение (4) есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний, и решение которого имеет вид Здесь: А0 – амплитуда колебаний в начальный момент времени;
А период колебаний Т будет В формулу (5) входят два множителя, зависящие от времени. Один coswt – периодическая функция времени, другой е-dt - убывает с течением времени, Тогда, если коэффициент сопротивления мал, то величину А=А0е–dt можно рассматривать как амплитуду, которая с течением времени уменьшается по экспоненциальному закону, окончательно решение уравнения затухающих колебаний можно записать в общем виде:
Графически затухающие колебания представлены на рис.2. Из формулы Итак, возьмем отношение двух амплитуд Аn и An+1 (см. рис.2)
Величина D называется декрементом затухания. Чем больше декремент затухания, тем скорее уменьшается амплитуда. Чаще затухающие колебания характеризуются логарифмическим декрементом затухания q:: Таким образом, для характеристики затухающих колебаний вводятся две величины: коэффициент затухания d и логарифмический декремент затухания q . Поясним их физический смысл. Обозначим через t промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Тогда Следовательно, коэффициент затухания d есть физическая величина обратная промежутку времени t, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина t называется временем релаксации. Если, например, d= 10 2 с. , то это значит, что амплитуда колебаний убывает в е раз за время 10 2 с. Пусть n – число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда t = nT и q = dТ = 1/t = 1/n. Следовательно, логарифмический декремент затухания q есть физическая величина, обратная числу колебаний n, по истечении которого амплитуда убывает в е раз. Если, например, q = 0,01, то это значит, что амплитуда колебаний убывает в е раз по истечении 100 колебаний. РАБОТА № 3-1 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|