 |
|
Элементарные функции и конформные отображения
Изучаемые вопросы: Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.
Простейшей из рассматриваемых элементарных ФКП является линейная:
, (4)
являющаяся формальным аналогом линейной функции вещественного переменного 
. Но вещественная функция ставит в соответствие точкам оси 
точки оси 
, т.е. осуществляет отображение 
, а ФКП (4) отображает точки комплексной плоскости 
в точки комплексной плоскости 
(рис.1).
Пусть 
, т.е.
, тогда (4) можно представить как сложную функцию, составленную из функций
1) 
;
2) 
;
3) 
;
Видим (рис.2), что 1) отображает поворот вектора 
на угол 
, изображаемый вектором 
, 2) – отображает подобное преобразование вектора в вектор 
с коэффициентом подобия 
, а 3) – отображает сдвиг на постоянную величину 
. Суперпозиция этих трёх преобразований и даёт в итоге вектор 
.
Пусть 
имеет в точке 
конечную производную 
. Переменная, стремящаяся к конечному пределу, отличается от него на бесконечно малую:
, (5)
где 
при 
. В (5) 
, и пусть
, (6)
тогда
. (7) (5.9)
Последнее выражение показывает, что любое дифференцируемое отображение в окрестности фиксированной точки приближённо можно считать линейным, если выполняется условие (6). Отсюда вытекает геометрический смысл производной от ФКП: в малой окрестности точки происходит подобное преобразование с коэффициентом 
и поворот на угол 
. Такое преобразование называется конформным в точке . Достаточным условием этого является условие (6).
Отображение называется конформным в области, если оно взаимнооднозначно и конформно в каждой точке области. Заметим, что при конформном отображении, отличном от линейного, коэффициент подобия и угол поворота меняется от точки к точке.
Об остальных функциях Вы прочтёте Учебном пособии. Здесь лишь заметим, что, в отличие от функций вещественного переменного, показательная ФКП является периодической с периодом 
, логарифмическая – бесконечнозначной, и что формально формулы дифференцирования элементарных ФКП совпадают с оными для функций вещественного переменного.
Вопросы для самопроверки по теме 2.3
1. В чём состоит геометрический смысл производной от ФКП?
2. Напишите формулы элементарных ФКП: линейной, дробно-линейной, показательной, логарифмической.
3. В чём отличие вещественной и комплексной логарифмических функций?
4. Напишите равенство Эйлера.
5. Как выражаются тригонометрические функции вещественной переменной через показательную функцию?