Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его есть Пусть дифференциальное уравнение задано в форме (6) и каждая из функций и Тогда уравнение (6) записывается в виде
Уравнение вида (10) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обоих его частей на выражение
или т.е. к уравнению вида (9). Если дифференциальное уравнение задано в виде (5), то оно называется уравнением с разделяющимися переменными,если
Это уравнение приводится к виду (9) путем деления обоих его частей на Интегрируя левую часть по
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Интегрируя почленно, получим общий интеграл: или Разрешая последнее уравнение относительно или Пример 2. Найти решение уравнения Решение. Данное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, т.е. уравнение вида (11).Разделив переменные, имеем: Интегрируя, находим: т.е. Разрешая последнее уравнение относительно Пример 3. Найти общее решение уравнения Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Путем деления обоих его частей на выражение Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получаем: или Отсюда получаем общее решение уравнения: или
Пример 4. Найти решение уравнения Решение. Выражая производную функции через дифференциал
Отсюда имеем: Разделяя переменные путем деления обеих частей на Интегрируя, имеем:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|