Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения первого порядка, в общем случае, имеют вид (4) или (5) здесь - искомая функция, - независимая переменная. Иногда это уравнение записывается через дифференциалы зависимой и независимой переменных и в форме (6) где и - известные функции. Форма (6) удобна тем, что здесь переменные и равноправны. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (4), (5), (6) называется функция , (7) а общим интегралом Ф (8) Для нахождения частного решения уравнения (4), (5), (6) задается начальное условие, например, при которое иногда записывается в виде Для определения частного решения данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию необходимо подставить значения и в уравнение (7), (8), найти значения и подставляя значения в уравнение (7), (8) найти частное решение. Определение. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которое получается из общего решения , если в последнем произвольному постоянному придать определенное значение Соотношение Ф называется в этом случае частным интегралом уравнения. Нахождение частного решение дифференциального уравнения называется задачей Коши. Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (5), удовлетворяющее заданному начальному условию: , т.е. принимающее при заданное значение . Геометрически задача Коши формулируется так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (5), проходящую через заданную точку . Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой особый способ решения.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|