Здавалка
Главная | Обратная связь

Дифференциальные уравнения первого порядка



 

Дифференциальные уравнения первого порядка, в общем случае, имеют вид

(4)

или (5)

здесь - искомая функция, - независимая переменная.

Иногда это уравнение записывается через дифференциалы зависимой и независимой переменных и в форме

(6)

где и - известные функции. Форма (6) удобна тем, что здесь переменные и равноправны.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (4), (5), (6) называется функция

, (7)

а общим интегралом

Ф (8)

Для нахождения частного решения уравнения (4), (5), (6) задается начальное условие, например, при которое иногда записывается в виде

Для определения частного решения данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию необходимо подставить значения и в уравнение (7), (8), найти значения и подставляя значения в уравнение (7), (8) найти частное решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которое получается из общего решения , если в последнем произвольному постоянному придать определенное значение

Соотношение Ф называется в этом случае частным интегралом уравнения.

Нахождение частного решение дифференциального уравнения называется задачей Коши.

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (5), удовлетворяющее заданному начальному условию: , т.е. принимающее при заданное значение .

Геометрически задача Коши формулируется так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (5), проходящую через заданную точку .

Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой особый способ решения.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.