Решение однородного уравнения ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
По условию f(tx,ty)=f(x,y). Положив в этом тождестве получим: , (1¢) т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов и однородное уравнение примет вид Сделаем подстановку: т.е. y=Ux тогда будем иметь: или Подставив это выражение производной в уравнение (1¢), получим:
Это уравнение с разделяющимися переменными. или Интегрируя, найдём: Подставляя после интегрирования вместо U отношение , получим интеграл уравнения (1¢). Пример 3. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Приводим данное уравнение к виду и определяем однородность функции f(x,y), т.е. Здесь и Поэтому функция f(x,y)- однородная функция нулевого измерения, т.е. дифференциальное уравнение однородное. Сделаем подстановку или т.е.: или Разделяя переменные будем иметь: Отсюда, интегрируя, находим: ;
Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения: Отсюда получим: Пример 4. Решить уравнение Решение. Решая данное уравнение относительно , получим Функция является однородной функцией нулевого измерения. Поэтому данное дифференциальное уравнение однородное. Сделаем подстановку
, т.е. у=Ux. Тогда будем иметь: или Подставим это выражение в дифференциальное уравнение получим: или т.е. Разделив переменные, имеем Интегрируя это уравнение, получим: ; ; u-lnu-lnc=lnx; u-lnu=lnxc. Заменяя в последнем равенстве u отношением , окончательно находим общий интеграл данного уравнения -ln =lncx. Пример 5. Решить уравнение Решение. Так как функции находящиеся при dx и dy являются однородными функциями нулевого измерения то по определению данное уравнение однородное. Разрешим данное уравнение относительно производной: или . Введя новую переменную и учитывая у=ux, из последнего уравнения имеем: . Разделяя переменные и интегрируя почленно, получим: ; или . Выполняя обратную замену, т.е. , получим общий интеграл данного уравнения: . Пример 6. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условиюу=1 при х=1. Решение. Данное уравнение однородное. Введя новую переменную , учитывая у=ux и , данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными: откуда Интегрируя это уравнение, получим . Выполнив обратную замену, имеем . Используя начальное уравнение у=1 при х=1 найдём значение производной постоянной С, т.е. 2lnС=1, lnC= , или . Тогда общее решение запишется в виде . Пример 7. Решить уравнение Решение. Данное уравнение представим в виде Введя новую переменную , учитывая у=ux и , получим уравнение с разделяющимися переменными:
откуда Интегрируя это уравнение, получим или 1+U=Cx, U=Cx-1. Заменив в последнем равенстве U отношением , находим общее решение данного уравнения: или В задачах 1-15 найти общие интегралы (общее решение) уравнений. 1. Ответ: 2. (x+y)dx+2xdy=0. Ответ: x(x+3y)²=C 3. Ответ: 4. Ответ: . 5. Ответ: . 6. y²dx+(x²-xy)dy=0. Ответ: . 7. Ответ: x²+y²=Cx²y². 8. yy¢=2y-x. Ответ: . 9. . Ответ: . 10. (x-y)ydy-x²dy=0. Ответ: . 11. 2xyy¢=x²+y². Ответ: x²-y²=Cx. 12. Ответ: . 13. Ответ: . 14. (x²+y²)dx-2xydy=0. Ответ: (x-С)² -y²=C². 15. . Ответ: . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|