Решение однородного уравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

По условию f(tx,ty)=f(x,y). Положив в этом тождестве получим:

, (1¢)

т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов и однородное уравнение примет вид

Сделаем подстановку:

т.е. y=Ux

тогда будем иметь:

или

Подставив это выражение производной в уравнение (1¢), получим:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

или

Интегрируя, найдём:

Подставляя после интегрирования вместо U отношение , получим интеграл уравнения (1¢).

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Приводим данное уравнение к виду

и определяем однородность функции f(x,y), т.е.

Здесь и

Поэтому функция f(x,y)- однородная функция нулевого измерения, т.е. дифференциальное уравнение однородное. Сделаем подстановку или т.е.:

или

Разделяя переменные будем иметь:

Отсюда, интегрируя, находим:

;

Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения:

Отсюда получим:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Решая данное уравнение относительно , получим

Функция является однородной функцией нулевого измерения. Поэтому данное дифференциальное уравнение однородное. Сделаем подстановку

, т.е. у=Ux.

Тогда будем иметь:

или

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение получим:

или т.е.

Разделив переменные, имеем

Интегрируя это уравнение, получим:

; ; u-lnu-lnc=lnx;

u-lnu=lnxc.

Заменяя в последнем равенстве u отношением , окончательно находим общий интеграл данного уравнения

-ln =lncx.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Так как функции находящиеся при dx и dy являются однородными функциями нулевого измерения то по определению данное уравнение однородное.

Разрешим данное уравнение относительно производной:

или .

Введя новую переменную и учитывая у=ux, из последнего уравнения имеем:

Разделяя переменные и интегрируя почленно, получим:

;

или .

Выполняя обратную замену, т.е. , получим общий интеграл данного уравнения:

Пример 6. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальному условиюу=1 при х=1.

Решение. Данное уравнение однородное. Введя новую переменную , учитывая у=ux и , данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными: