Здавалка
Главная | Обратная связь

Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции



НЕДЕЛЯ 12

Лекция 23

Уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

Понижение порядка

 

Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида

y(n)=f(x). (1)

Данное уравнение решается последовательным n-кратным интегрированием. Интегрируя по х левые и правые части и принимая во внимание, что

y(n)=(у(n-1))¢, получим:

у(n-1) =

где х0- любое фиксированное значение х, а с1- постоянная интегрирования, и т.д. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате- n произвольных постоянных.

Пример1. Решить уравнения

Решение. Последовательно интегрируя, имеем

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y¢¢=sin(kx)

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

у(0)=0, у¢(0)=1.

Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение имеем

.

Это есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения с1 и с2. Из условия у(0)=0 находим с2=0. Из условия у¢(0)=1 находим с1=1.Таким образом, искомое частное решение имеет вид

или

.

Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции

 

Рассмотрим уравнение вида

,

которое не содержит искомую функцию у.

Данное уравнение при помощи подстановки и с учётом , преобразуется в уравнение первого порядка

.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Данное уравнение не содержит искомую функцию у. Положим , тогда . Поэтому искомое уравнение преобразуется к вмду

или .

Таким образом, мы получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся подстановкой , откуда и следовательно, приходим к уравнению

или .

Интегрируя, получаем

,

откуда , т.е. .

Возвращаясь к переменной у, имеем

или .

Остаётся проинтегрировать полученное уравнение первого порядка:

.

Пример 2. Найти частные решения уравнения

удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Данное уравнение не содержит искомую функцию у. Положив , , получим уравнение с разделяющимися переменными.

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение

Отсюда, .

Используя начальные условия , получим систему уравнений, для определения значений С1 и С2.

Отсюда, , .

Поэтому искомым частным решением исходного уравнения является

.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.