Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функцииСтр 1 из 4Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 12 Лекция 23 Уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие Понижение порядка
Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида y(n)=f(x). (1) Данное уравнение решается последовательным n-кратным интегрированием. Интегрируя по х левые и правые части и принимая во внимание, что y(n)=(у(n-1))¢, получим: у(n-1) = где х0- любое фиксированное значение х, а с1- постоянная интегрирования, и т.д. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате- n произвольных постоянных. Пример1. Решить уравнения Решение. Последовательно интегрируя, имеем Пример 2. Найти общее решение уравнения y¢¢=sin(kx) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у¢(0)=1. Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение имеем
Это есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения с1 и с2. Из условия у(0)=0 находим с2=0. Из условия у¢(0)=1 находим с1=1.Таким образом, искомое частное решение имеет вид или
Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции
Рассмотрим уравнение вида
которое не содержит искомую функцию у. Данное уравнение при помощи подстановки
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Данное уравнение не содержит искомую функцию у. Положим
Таким образом, мы получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся подстановкой
Интегрируя, получаем
откуда Возвращаясь к переменной у, имеем
Остаётся проинтегрировать полученное уравнение первого порядка:
Пример 2. Найти частные решения уравнения удовлетворяющее начальным условиям Решение. Данное уравнение не содержит искомую функцию у. Положив
Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение Отсюда, Используя начальные условия Отсюда, Поэтому искомым частным решением исходного уравнения является
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|