Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функцииСтр 1 из 4Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 12 Лекция 23 Уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие Понижение порядка
Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида y(n)=f(x). (1) Данное уравнение решается последовательным n-кратным интегрированием. Интегрируя по х левые и правые части и принимая во внимание, что y(n)=(у(n-1))¢, получим: у(n-1) = где х0- любое фиксированное значение х, а с1- постоянная интегрирования, и т.д. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате- n произвольных постоянных. Пример1. Решить уравнения Решение. Последовательно интегрируя, имеем Пример 2. Найти общее решение уравнения y¢¢=sin(kx) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у¢(0)=1. Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение имеем . Это есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения с1 и с2. Из условия у(0)=0 находим с2=0. Из условия у¢(0)=1 находим с1=1.Таким образом, искомое частное решение имеет вид или . Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции
Рассмотрим уравнение вида , которое не содержит искомую функцию у. Данное уравнение при помощи подстановки и с учётом , преобразуется в уравнение первого порядка . Пример 1. Найти общее решение уравнения . Решение. Данное уравнение не содержит искомую функцию у. Положим , тогда . Поэтому искомое уравнение преобразуется к вмду или . Таким образом, мы получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся подстановкой , откуда и следовательно, приходим к уравнению или . Интегрируя, получаем , откуда , т.е. . Возвращаясь к переменной у, имеем или . Остаётся проинтегрировать полученное уравнение первого порядка: . Пример 2. Найти частные решения уравнения удовлетворяющее начальным условиям , . Решение. Данное уравнение не содержит искомую функцию у. Положив , , получим уравнение с разделяющимися переменными. . Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение Отсюда, . Используя начальные условия , получим систему уравнений, для определения значений С1 и С2. Отсюда, , . Поэтому искомым частным решением исходного уравнения является . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|